レムニスケートには円に共通する性質があり，定規とコンパスだけで奇数のｎ等分することができる必要十分条件はｎがフェルマー素数（ｎ＝２2^m＋１の形の素数：３，５，１７，２５７，６５５３７）であることです．　倍角公式を取り上げたので，今回は半角公式，すなわち「レムニスケートの弧長を１／２倍にすること」について調べてみることにしましょう．

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【１】円積分の半角公式

　　sin2u=2sinucosu=2sinu(1-sin^2u)^1/2=2x(1-x^2)^1/2

より，

　　2u=sin^(-1)(2x(1-x^2)^1/2)

したがって，

　　2∫(0,x)f(t)dt=∫(0,2x(1-x^2)^1/2)f(t)dt

が成り立ちます．

　あるいは，同じことですが，

　　sinu/2={(1-cosu)/2}^1/2

より，

　　u/2=sin^(-1){(1-(1-x^2)^1/2)/2}^1/2

したがって，

　　1/2∫(0,x)f(t)dt=∫(0,{(1-(1-x^2)^1/2)/2}^1/2)f(t)dt

が成り立ちます．

　2x(1-x^2)^1/2，{(1-(1-x^2)^1/2)/2}^1/2はｘから四則演算および平方根により得られますので，この式は定規とコンパスだけで円弧長を１／２倍にする作図が可能であることを示しています．とくに，sinu=1(cosu=0)のとき，sinu/2=1/√2ですから，４半円弧長を定規とコンパスで２等分できることがわかります．

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【２】レムニスケート積分の半角公式

　　sl(2u)=2sl(u)sl'(u)/(1+sl^4(u))

　　sl'(u)=(1-sl^4(u))^1/2

　　sl(u)=2sl(u/2)sl'(u/2)/(1+sl^4(u/2))

　　sl'(u/2)=(1-sl^4(u/2))^1/2

　　sl(u)=2sl(u/2)(1-sl^4(u/2))^1/2/(1+sl^4(u/2))

　ここで，レムニスケートの４半弧を定規とコンパスで２等分できることを示すためにsl(u/2)=v,sl(u)=1とおくことにします．すると， 　　v^8+4v^6+2v^4-4v^2+1=0

　　(v^4+1/v^4)+4(v^2-1/v^2)+2=0

　さらにまた，v^2-1/v^2=wとおくと，

　　w^2+4w+4=0よりw=-2

より，v=(-1+√2)^1/2

　sl(u/2)=(-1+√2)^1/2も四則演算および平方根により得られますので，円同様，レムニスケートの４半弧も定規とコンパスだけで弧長を１／２倍にする作図が可能であることを示しています．

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