【３】ワイエルシュトラス積分の加法定理

　３次曲線：ｙ^2＝４ｘ^3−ｇ2ｘ−ｇ3はワイエルシュトラスのペー関数：ｘ＝ｐ（ｕ），ｙ＝ｐ’（ｕ）によってパラメトライズされます．

　ワイエルシュトラスのペー関数は１階の非線形微分方程式

　　（ｙ’）^2＝４ｙ^3−ｇ2ｙ−ｇ3

の解ですが，その逆関数は

　　Ｆ（ｘ）＝∫(0,x)ｄｔ／（４ｔ^3−ｇ2ｔ−ｇ3）^1/2

となります．

　Ｆ’の逆数：ｙ^2＝４ｘ^3−ｇ2ｘ−ｇ3をとり，ｘとｙを交換するとｘ^2＝４ｙ^3−ｇ2ｙ−ｇ3ｙになりますから，このことからＦがｙ^2＝４ｘ^3−ｇ2ｘ−ｇ3の逆関数であることがおわかり頂けるでしょう．

　楕円積分

　　Ｆ（ｘ）＝∫(0,x)ｄｔ／（４ｔ^3−ｇ2ｔ−ｇ3）^1/2

は楕円関数の基礎として最も便利な積分であって，その加法定理

　　Ｆ（ｘ1）＋Ｆ（ｘ2）＝Ｆ（ｘ3）

において，ｘ3はＰ1（ｘ1，ｙ1），Ｐ2（ｘ2，ｙ2）を通る直線上の

　　ｙ^2＝４ｘ^3−ｇ2ｘ−ｇ3

を満たす点Ｐ3（ｘ3，ｙ3）のｘ座標

　　ｘ3＝−（ｘ1＋ｘ2）＋（（ｙ2−ｙ1）／（ｘ2−ｘ1））^2／４

となります．また，このことからＰ1，Ｐ2が有理点ならばＰ3も有理点であることがわかります．

　この式は楕円関数ｆの加法定理を与える式でもあります．加法定理とはｆ（ｕ1＋ｕ2）をｆ（ｕ1）とｆ（ｕ2），ｆ’（ｕ1）とｆ’（ｕ2）を使って表す公式ですが，この場合，ｆ（ｕ1）＝ｘ1，ｆ（ｕ2）＝ｘ2，ｆ’（ｕ1）＝ｙ1，ｆ’（ｕ2）＝ｙ2に対して，ｘ3＝ｆ（ｕ1＋ｕ2）となる楕円関数によって，この３次曲線：ｙ^2＝４ｘ^3−ｇ2ｘ−ｇ3はｘ＝ｆ（ｕ），ｙ＝ｆ’（ｕ）とパラメトライズされます．ｘ3を求める操作＝パラメータｕ1，ｕ2の加法と解釈することができるというわけです．

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