（ｘ，ｙ）＝（ｆ（ｕ），ｆ’（ｕ））

とパラメトライズされる曲線について考えてみよう．もしf(u)=sin(u)ならば，x=sin(u),y=cos(u)であるから，この曲線はx^2+y^2=1（円）になる．サイクロイド：ｘ＝ｒ（θ−ｓｉｎθ），ｙ＝ｒ（１−ｃｏｓθ）もその例である．　円は代数曲線であるが，サイクロイドは代数曲線ではない．また，

　　（ｘ，ｙ）＝（ｆ（ｕ），ｆ’（ｕ））

とパラメトライズされる代数曲線は円だけではなく，楕円曲線もその例となっている．今回のコラムでは楕円積分の倍角公式を取りあげることにしたい．

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【１】円積分の倍角公式

　円の４分の１周の長さを求めるのに，y=(1-x^2)^(1/2)に対し，

　　∫(0,1)(1+(dy/dx)^2)^(1/2)dx

を計算すると，これは

　　∫(0,1)1/(1-x^2)^(1/2)dx

となります．そこで

　　f(x)=1/(1-x^2)^(1/2)

　　2∫(0,1)f(x)dx=3.141592･･･=π

となり，これをπの定義とし，完全円積分と呼ぶことにします．

　F(z)=∫(0,z)f(x)dxは不完全円積分ですが，これから円関数（三角関数）を

　　sinω=F^(-1)(ω),cosω=F^(-1)(π/2-ω)

と定義すると，逆正弦関数

　　sin^(-1)x=∫(0,x)f(t)dt=u

が得られます．

　　2u=2∫(0,x)f(t)dt

ですが，三角関数の倍角の公式（あるいは加法定理）

　　sin2u=2sinucosu=2sinu(1-sin^2u)^1/2=2x(1-x^2)^1/2

より，

　　2u=sin^(-1)(2x(1-x^2)^1/2)

したがって，

　　2∫(0,x)f(t)dt=∫(0,2x(1-x^2)^1/2)f(t)dt

　　２Ｇ（ｘ）＝Ｇ（２ｘ（１−ｘ^2）^1/2）

が成り立ちます．

　2x(1-x^2)^1/2はｘから四則演算および平方根により得られますので，この式は定規とコンパスだけで円弧長を２倍にする作図が可能であることを示しています．

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