■正三角形の初等幾何学(その65)

 (その64)を補足しておきたい.

  [参]山本光雄「円の幾何」オーム社

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 多角形の各頂点に重みwkを設ける.たとえば三角形の場合,重心は

  OG↑=(w1OA↑+w2OB↑+w3OC↑)/(w1+w2+w3)矢

 ここで,始点をOからPに変えても

  PG↑=(w1PA↑+w2PB↑+w3PC↑)/(w1+w2+w3)

となって,重心の位置は座標や原点の取り方に依存しないことがわかる.また,始点をGに変えると,

  w1GA↑+w2GB↑+w3GC↑=0↑

となる.

 ここでは1次モーメントを考えたが,2次モーメントについては,

  w1|OA↑|^2+w2|OB↑|^2+w3|OC↑|^2

 =w1|OG↑+GA↑|^2+w2|OG↑+GB↑|^2+w3|OG↑+GC↑|^2

 =(w1+w2+w3)|OG↑1^2+2OG↑・(w1GA↑+w2GB↑+w3GC↑)+w1|GA↑1^2+w2|GB↑1^2+w3|GC↑1^2

 ここで,

  w1GA↑+w2GB↑+w3GC↑=0↑

より,

  w1|OA↑|^2+w2|OB↑|^2+w3|OC↑|^2

 =(w1+w2+w3)|OG↑1^2+w1|GA↑1^2+w2|GB↑1^2+w3|GC↑1^2

すなわち,点Oに関する2次モーメントの和は,点Oに関する重心Gの2次モーメントと重心Gに関する2次モーメントの和に等しいというのがシュタイナーの定理である.

 これは数学的にはスチュアートの定理そのものでもある.

  n|AB↑|^2+m|AC↑|^2=n|GB↑|^2+m|GC↑|^2+(m+n)|GA↑|^2

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