■正三角形の初等幾何学(その63)

 三角形ABCの外接円の弧BC上に点Pをとる.点Pから3辺(あるいはその延長)に下ろした垂線の足をD,E,Fとすれば,3点D,E,Fは同一直線上にある(シムソンの定理)は,共線定理の例である.

 もうひとつの有名な共線定理が「オイラー線」である.三角形ABCの外心O,重心G,垂心Hは同一直線上にあり,

  OG:GH=1:2

である.外心O,重心G,垂心Hはオリオン座の三ツ星となっているのである.

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[1]三角形ABCの外心O,重心G,垂心H,外心Oから辺BCに下ろした垂線の足を点Dとすると,

  AH=2OD

が成り立つ.

[2]外接円の半径をRとすると

  AH^2+BC^2=4R^2

  AH^2+BH^2+CH^2+AB^2+BC^2+CA^2=12R^2

  OH^2+AB^2+BC^2+CA^2=9R^2

が成り立つ.

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[3]三角形ABCの垂心をH,外接円上の点をPとする.このとき,点Pのシムソン線は線分PHの中点を通る(シュタイナーの定理).

[補]シュタイナーの反転法

 反転によって円は円に移る.放物線をその焦点を中心として反転すると,カージオイドに移る.

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