■正三角形の初等幾何学(その59)

【2】ヘロンの公式

 和算家の証明方法は三角関数の性質を使わないのでかなり複雑だそうです.ところで,六斜術の特別な場合として,点Pを外心にとり,外接円の半径をRとすると

  d=e=f=R

 これを六斜術の公式に代入すると

  R^2{a^2(R^2+b^2+c^2−a^2)

 +b^2(R^2+c^2+a^2−b^2)

 +c^2(R^2+a^2+b^2−c^2)}

 =a^2b^2c^2+R^4(a^2+b^2+c^2)

 整理すると

  R^2(2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2−a^4−b^4−c^4)=a^2b^2c^2

となって,外接円の半径Rを3辺の長さで表すことができます.

 また,三角形の面積をSとすると

  (4S)^2=2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2−a^4−b^4−c^4

となり,この公式は正弦定理より得られる周知の公式

  4RS=abc

と同じことがわかります.なお,内接円の半径rをa,b,c,Sで表すると

  S=r(a+b+c)/2,2rS=a+b+c

  4RS=abc

を用いて

  R^2(2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2−a^4−b^4−c^4)=a^2b^2c^2

を因数分解すると

  (4S)^2=(a+b+c)(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)

 ここで,2s=a+b+cとおくと

  S^2=s(s−a)(s−b)(s−c)

となり,ヘロンの公式が得られます.

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