【２】ヘロンの公式

　和算家の証明方法は三角関数の性質を使わないのでかなり複雑だそうです．ところで，六斜術の特別な場合として，点Ｐを外心にとり，外接円の半径をＲとすると

　　ｄ＝ｅ＝ｆ＝Ｒ

　これを六斜術の公式に代入すると

　　Ｒ^2｛ａ^2（Ｒ^2＋ｂ^2＋ｃ^2−ａ^2）

　＋ｂ^2（Ｒ^2＋ｃ^2＋ａ^2−ｂ^2）

　＋ｃ^2（Ｒ^2＋ａ^2＋ｂ^2−ｃ^2）｝

　＝ａ^2ｂ^2ｃ^2＋Ｒ^4（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2）

　整理すると

　　Ｒ^2（２ａ^2ｂ^2＋２ｂ^2ｃ^2＋２ｃ^2ａ^2−ａ^4−ｂ^4−ｃ^4）＝ａ^2ｂ^2ｃ^2

となって，外接円の半径Ｒを３辺の長さで表すことができます．

　また，三角形の面積をＳとすると

　　（４Ｓ）^2＝２ａ^2ｂ^2＋２ｂ^2ｃ^2＋２ｃ^2ａ^2−ａ^4−ｂ^4−ｃ^4

となり，この公式は正弦定理より得られる周知の公式

　　４ＲＳ＝ａｂｃ

と同じことがわかります．なお，内接円の半径ｒをａ，ｂ，ｃ，Ｓで表すると

　　Ｓ＝ｒ（ａ＋ｂ＋ｃ）／２，２ｒＳ＝ａ＋ｂ＋ｃ

　　４ＲＳ＝ａｂｃ

を用いて

　　Ｒ^2（２ａ^2ｂ^2＋２ｂ^2ｃ^2＋２ｃ^2ａ^2−ａ^4−ｂ^4−ｃ^4）＝ａ^2ｂ^2ｃ^2

を因数分解すると

　　（４Ｓ）^2＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（−ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ−ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ−ｃ）

　ここで，２ｓ＝ａ＋ｂ＋ｃとおくと

　　Ｓ^2＝ｓ（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）

となり，ヘロンの公式が得られます．

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