■正三角形の初等幾何学(その56)

[Q]1辺の長さdの正三角形がある.その中にある1点をとったら,3頂点からそれぞれa=7cm,b=10cm,c=13cmの距離にあった.1辺の長さdを求めよ.

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 1辺の長さがdの正三角形の中に点Pがあり,3頂点との距離はそれぞれa,b,cになっている.このとき,

  3(a^4+b^4+c^4+d^4)=(a^2+b^2+c^2+d^2)^2

が成り立つ.

 この公式を知っていれば答は簡単である.

  a^2=49,a^4=2401

  b^2=100,b^4=10000

  c^2=169,c^4=28561

  a^2+b^2+c^2=318

  a^4+b^4+c^4=40962

  3(40962+d^4)=(318+d^2)^2

  3(40962+d^4)=(318+d^2)^2

  122886+3d^4=101124+636d^2+d^4

  d^4−318d^2+10881=0

  d^2=159±√14400=159±120=279,39

[A]点Pは正三角形の中にあるから,d=√279

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