■正三角形の初等幾何学(その53)

【Q】正三角形を直線によって面積を2等分するとき,その包絡線はどのような曲線を描くか?

(A)包絡線の求め方を説明しよう.曲線:y=f(x,θ)において,パラメータθが動くとき,θとθ+Δθに対応する2本の隣り合った曲線を考えると,その交点はΔθ→0の極限で包絡線上の点となる.

 xを固定するとき,この交点のy座標はパラメータθが変わっても変化しないことで特徴づけられるから,

  ∂y/∂θ=0 → θ=g(x)

を求め,元の方程式に代入すると包絡線の方程式

  y=f(x,g(x))

が得られる.

 △ABCにおいて,A(0,√3),B(−1,0),C(1,0)とする.

点Pがx軸上を点Bから原点に向かって進むとき,点Pは

  (t,0)  −1≦t≦0

とパラメトライズされる.

 このとき,正3角形の面積の2等分線のもう一方の端点Q(x0,y0)は辺AC上にあり,

  y0=−√3x0+√3

 また,直線PQの方程式を

  y=m(x−t),m=y0/(x0−t)

とする.面積の2等分線であることより

  (1−t)y0=√3

以上より,この直線の方程式は

  y=m(x−t),m=√3/(t^2−2t)

となる.

  ∂y/∂t=0 → t^2−2xt+2x=0

  t=x−(x^2−2x)^1/2

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もとの式を

  (t^2−2t)y−√3(x−t)=0

の形にして,tで偏微分した式

  2(t−1)y+√3=0

と連立してtを消去して,xとyだけの関係式に整理すると,

  3−4y^2=√3(4xy−4y+2√3)

これは双曲線を表す.

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