■正三角形の初等幾何学(その52)
【Q1】底辺と平行な線で切って,面積を2等分するにはどこで切ればよいか.
(A1)水平線の長さxとすると
√3/2x^2=√3/4 x=√2/2
したがって,水平線の長さは√2/2=0.707107・・・となり垂線の長さ√3/2よりこの方が短い.
正三角形の場合に限らず,3角形の中線は面積を2等分する.1辺に平行で他の2辺を(√2−1):1で内分する線分も3角形の面積の2等分線となる.
(Q1)の水平線は最短の2等分直線であるが,2等分曲線にはもっと短いものがある.
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【Q2】正三角形を最短長の曲線で2等分せよ.
(A2)正三角形を次々に辺について反転させて1頂点のまわりに6個集めて正六角形を作る(面積3√3/2).そして,六角形の中心を中心とする円でこの面積を2等分する.円の半径をxとすると
πx^2=3√3/4
x=(3√3/4π)^(1/2)=0.643037・・・
したがって,円弧の長さは
π/3(3√3/4π)^(1/2)=0.673387・・・
となり,このほうが短いことがわかる.
モーザーはこのようにして最短周長曲線は円弧であることを示した.等分曲線がどのような形であろうと正三角形を次々に辺について反転させて1頂点のまわりに6個集めて正六角形を作れば2等分曲線は閉曲線になるから,円が与えられた面積を囲む最短周長曲線であるというわけである.
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