■正三角形の初等幾何学(その51)

 a=BC,b=CA,c=ABとする.|a|=|b|=|c|=d

  AP=(λc−b)/(1+λ)

  BQ=(μa−c)/(1+μ)

  CR=(νb−a)/(1+ν)

  PQ=AP+PC+CQ=(λc−b)/(1+λ)+λa/(1+λ)+b/(1+μ)=(λ(c+a)−b)/(1+λ)+b/(1+μ)

a+b+c=0より

  PQ=−b{(λ+1)(1+μ)−(1+λ)}/(1+λ)(1+μ)

=−bμ(1+λ)(1+ν)/(1+λ)(1+μ)(1+ν)

  QR=BQ+QA+AR=(μa−c)/(1+μ)+μb/(1+μ)+c/(1+ν)

=−c(ν(1+μ)(1+λ)/(1+λ)(1+μ)(1+ν)

  RP=CR+RB+BP=(νb−a)/(1+ν)+νc/(1+ν)+a/(1+λ)

=−a(λ(1+ν)(1+μ)/(1+λ)(1+μ)(1+ν)

あるいは余弦定理の方が簡単かもしれない.

 |a|=|b|=|c|=dより,

(1+λ)(1+μ)(1+ν)

μ(1+λ)(1+ν)

ν(1+μ)(1+λ)

λ(1+ν)(1+μ)

が整数となるλ,μ,νを定めればよいことになる.

 4つの三角形がどれも不等辺整数三角形になる(正三角形にも二等辺三角形にもならない)ようにするのは難しいかもしれないが,そうでない場合は簡単な問題であって,たとえばλ=2,μ=3,ν=4であれば,

(1+λ)(1+μ)(1+ν)=60

μ(1+λ)(1+ν)=45

ν(1+μ)(1+λ)=48

λ(1+ν)(1+μ)=40

とすればよい.

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