［Ｑ］三角形ＡＢＣの各辺を１：λの比に順次分けた点Ｐ，Ｑ，Ｒが作る三角形ＰＱＲがもとの三角形と相似になることがあるか？　あるとすればどのような場合か？

は（重心座標を用いずとも幾何的に）ベクトルで解けると思われる．

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　ａ＝ＢＣ，ｂ＝ＣＡ，ｃ＝ＡＢとする．

　　ＡＰ＝（λｃ−ｂ）／（１＋λ）

　　ＢＱ＝（λａ−ｃ）／（１＋λ）

　　ＣＲ＝（λｂ−ａ）／（１＋λ）

　　ＰＱ＝ＡＰ＋ＰＣ＋ＣＱ＝（λｃ−ｂ）／（１＋λ）＋λａ／（１＋λ）＋ｂ／（１＋λ）＝λ（ｃ＋ａ）／（１＋λ）

　　ＱＲ＝ＢＱ＋ＱＡ＋ＡＲ＝（λａ−ｃ）／（１＋λ）＋λｂ／（１＋λ）＋ｃ／（１＋λ）＝λ（ａ＋ｂ）／（１＋λ）

　　ＲＰ＝ＣＲ＋ＲＢ＋ＢＰ＝（λｂ−ａ）／（１＋λ）＋λｃ／（１＋λ）＋ａ／（１＋λ）＝λ（ｂ＋ｃ）／（１＋λ）

　これらのノルムがａ，ｂ，ｃに比例する．同じ向きに相似なとき，それぞれの辺が最も近い辺に比例すると仮定すると

　　ＰＱ：ＱＲ：ＲＰ＝ａ：ｂ：ｃ

　裏返しに相似なとき，

　　ＰＱ：ＱＲ：ＲＰ＝ａ：ｃ：ｂ

　ａ＋ｂ＋ｃ＝０より，これらを解くと相似条件は元の三角形が正三角形であるが，またはλ＝１（中点）のときに限る．もっとも直接初等幾何学的に考えた方が早いかもしれないが・・・．

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　　ＰＱ＝λ（ｃ＋ａ）／（１＋λ）

　　ＱＲ＝λ（ａ＋ｂ）／（１＋λ）

　　ＲＰ＝λ（ｂ＋ｃ）／（１＋λ）

ａ＋ｂ＋ｃ＝０より，

　　ＰＱ＝−λｂ／（１＋λ）

　　ＱＲ＝λ（ａ＋ｂ）／（１＋λ）

　　ＲＰ＝−λａ／（１＋λ）

　したがって，　縮小三角形がもとの三角形と相似とすると，面積の関係から長さの相似比は

　　　（λ^2−λ＋１）^1/2／（λ＋１）

である．したがって，ＰＱ^2，ＱＲ^2，ＲＰ^2は

　　ａ^2，ｂ^2，ｃ^2／（λ^2−λ＋１）

のいずれかに等しくなる．すなわち，

　　（ａ^2，ｂ^2，ｃ^2）（λ^2−λ＋１）

のいずれかに等しくなる．

　この形で方程式を作るが，同じ向きに相似なとき，それぞれの辺が最も近い辺に比例すると仮定すると

　　ｃ^2＝ａ^2＋２ａ・ｂ＋ｂ^2，２ａ・ｂ＝ｃ^2−ａ^2−ｂ^2

より

　　ａ^2λ（λ−１）＋ｂ^2（１−λ）＋ｃ^2λ＝ｃ^2（λ^2−λ＋１）

　　ａ^2λ＋ｂ^2λ（λ−１）＋ｃ^2（１−λ）＝ａ^2（λ^2−λ＋１）

　　ａ^2（１−λ）＋ｂ^2λ＋ｃ^2λ（λ−１）＝ｂ^2（λ^2−λ＋１）

を得ます．

　３式を加えると，両辺とも

　　左辺（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2）（λ^2−λ＋１）

となる．

　この方程式を整理すると，第１式から

　　ａ^2λ（λ−１）−ｂ^2（λ−１）＋ｃ^2（λ−１）^2＝０

したがって，λ＝１（中点をとる）か，または，ａ^2λ−ｂ^2＋ｃ^2（λ−１）＝０を得ます．

　λ≠１なら同様に

　　−ａ^2（λ−１）＋ｂ^2λ−ｃ^2＝０

　　−ａ^2＋ｂ^2（λ−１）＋ｃ^2λ＝０

を得ます（和は０）．これから

　　ａ^2−ｂ^2＝λ（ｃ^2−ｂ^2）

などがでるので，ａ＝ｂ＝ｃ（正三角形）なら文句なし，そうでないと

　　λ＝（ｃ^2−ｂ^2）／（ａ^2−ｂ^2）＝（ａ^2−ｃ^2）／（ｂ^2−ｃ^2）＝（ｂ^2−ａ^2）／（ｃ^2−ａ^2）

などとなりますが，これは分母を払って整理するとａ＝ｂ＝ｃ以外には成立しません．

　すなわち，この場合は元の三角形が正三角形であるが，またはλ＝１（中点）のときに限ります．もっとも直接初等幾何学的に考えた方が早いかもしれません．

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【雑感】重心座標を用いないで，ベクトルで解く場合，縮小三角形がもとの三角形と相似とすると，面積の関係から長さの相似比は

　　　（λ^2−λ＋１）^1/2／（λ＋１）＝（λ^3＋１）／（λ＋１）^3

であることを示すのが結構大変である．

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