■正三角形の初等幾何学(その44)

  b=2^m+1,f=2^m−1

に制限する.

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  d^2={(3b^2+2e^2)±3bf}/2

  D^1/2=3bf=3(2^m+1)(2^m−1)=3(2^2m−1)

  b^2−4e^2=f^2,b^2=(2e)^2+f^2

2e^2=(b^2−f^2)/2=2・2^m

  3b^2+2e^2=3(2^m+1)^2+2・2^m=3・2^2m+8・2^m+3  2d^2=6・2^2m+8・2^m=2^m(6・2^m+8)

  d^2=2^m(3・2^m+4)

[1]mが偶数のとき,

  (3・2^m+4)=N^2

[2]mが奇数のときのとき,

  (3・2^m+4)=2N^2

となるmを探すことになる.

[1]m=0(NG)   [2]m=1(NG)

   m=2(OK)      m=3(NG)

   m=4(NG)      m=5(NG)

   m=6(OK)      m=7(NG)

   m=8(NG)      m=9(NG)

   m=10(NG)     m=11NG)

 mの小さい範囲の解は,m=2とm=6だけであった.m=2はd=8,b=5,f=3,e=2→a=3,b=5,c=7で,点Pは辺上にある.

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