■正三角形の初等幾何学(その34)

[Q]1辺の長さdの正三角形がある.その中にある1点をとったら,3頂点からそれぞれa=3cm,b=5cm,c=3cmの距離にあった.1辺の長さdを求めよ.

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 a,b,cは等差数列になっている.

  a=b−e,b,c=b+e

  a^2=(b−e)^2,a^4=(b−e)^4

  c^2=(b+e)^2,c^4=(b+e)^4

  a^2+b^2+c^2=3b^2+2e^2

  a^4+b^4+c^4=3b^4+12b^2e^2+2e^4

  3(3b^4+12b^2e^2+2e^4+d^4)=(3b^2+2e^2+d^2)^2=d^4+2(3b^2+2e^2)d^2+(3b^2+2e^2)^2

  d^4−(3b^2+2e^2)d^2+12b^2e^2+e^2=0

  D=(3b^2+2e^2)^2−4(12b^2e^2+e^2)=9b^4−36b^2e^2=9b^2(b^2−4e^2)

 計算しやすいようにするためには

  b^2−4e^2=f^2,b^2=(2e)^2+f^2

  2e=4,f=3,b=5とすれば,

  b=5,e=2→a=3,b=5,c=7

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  d=8

となって,この問題は

[Q]1辺の長さdの正三角形ABCがある.その中に1点Pをとるのではなく辺BC上に点Pをとったら,3頂点からそれぞれAP=a=7cm,BP=b=3cm,CP=c=5cmの距離にあった.

 1辺の長さdは8cmであることがすぐわかるから,これでは問題にならない.

 しかし,

[Q]a,b,c,dを整数とする.1辺の長さdの正三角形ABCがある.その中に1点Pをとるのではなく辺BC上に点Pをとったら,3頂点からそれぞれAP=a,BP=b,CP=cは整数距離にあった.a,b,c,dを求めよ.

ではどうだろうか?

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