■正三角形の初等幾何学(その17)

[Q]任意の三角形の三辺の長さをa,b,c,面積をΔとする。外接円の半径Rおよび内接円の半径rをa,b,c,Δで表せ.

[A]三角形の面積は,ヘロンの公式

  Δ=(s(s−a)(s−b)(s−c))^1/2,

  s=(a+b+c)/2

で求めることができる.ここで、2s=a+b+cとおくと

Δ^2=(a+b+c)(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)/16

=(2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2−a^4−b^4−c^4)/16

 正弦定理より,

  2R=a/sinα=b/sinβ=c/sinγ

余弦定理より,

  cosα=(b^2+c^2−a^2)/2bc

であるから

  sinα={1−(b^2+c^2−a^2)^2/4b^2c^2}^1/2

={2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)−(a^4+b^4+c^4)}^1/2/2bc

を代入して整理すると,a,b,cについて対称な形の式が得られる.

  2R=2abc/{2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)−(a^4+b^4+c^4)}^1/2

=2abc/{(a+b+c)(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)}^2

 また,内接円の半径は

  1/2・(a+b+c)・r=Δ

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[Q]与えられた三角形が直角三角形のときのR,rをa,b,cの一次式で表せ.

[A]内接円の中心からそれぞれの辺に垂線を引くと,

  c=(a−r)+(b−r)=a+b−2r

  r=(a+b−c)/2

Rは外接円の半径であるから

  R=c/2

 きちんと計算するならば,a^2+b^2=c^2,Δ=ab/2より,

 2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)−(a^4+b^4+c^4)=4a^2b^2

 2R=2abc/{2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)−(a^4+b^4+c^4)}^1/2=c

 なお,

  Δ=ab/2=1/2・(a+b+c)・r

に,r=(a+b−c)/2を代入すると,ピタゴラスの定理

  a^2+b^2=c^2

が得られる.

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