■正三角形の初等幾何学(その12)

[Q]任意の三角形の三辺の長さをa,b,c,面積をΔとする.外接円の半径Rをa,b,c,Δで表せ.

[A]ヘロンの公式を使ったほうがほうが簡単そうである.ヘロンの公式とは,

Δ^2=(2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2−a^4−b^4−c^4)/16

=(a+b+c)(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)/16

ここで、2s=a+b+cとおくと

Δ^2=s(s−a)(s−b)(s−c)

となり,おなじみの平面三角形のヘロンの公式が得られる.

===================================

[Q2]円に内接する四角形(辺の長さa,b,c,d)がある.このとき,円の直径を求めよ.

 ここで,(その11)の続きを考えてみたい.[1]−[4]は

  2R=2abe/4Δ(abe)・・・[1]

  2R=2cde/4Δ(cde)・・・[2]

  2R=2fbc/4Δ(fbc)・・・[3]

  2R=2fad/4Δ(fad)・・・[4]

  S=Δ(abe)+Δ(cde)=(ab+cd)e/4R

  S=Δ(fbc)+Δ(fad)=(ad+bc)f/4R

  S^2=(ab+cd)e/4R・(ad+bc)f/4R

=(ab+cd)(ad+bc)(ac+bd)/16R^2

 四角形が円に内接するとき,ブラーマグプタの公式

  S=((s−a)(s−b)(s−c)(s−d))^1/2,

  s=(a+b+c+d)/2

が成り立つ.

 したがって,

  16R^2=(ab+cd)(ad+bc)(ac+bd)/S^2

=(ab+cd)(ad+bc)(ac+bd)/(s−a)(s−b)(s−c)(s−d)

=16(ab+cd)(ad+bc)(ac+bd)/(b+c+d−a)(a+c+d−b)(a+b+d−c)(a+b+c−d)

===================================