■正三角形の初等幾何学(その8)

 2つの円の中間に次々に接する円列の半径をr1,r2,r3,・・・と表すことにする.もちろん,完全な円環をなす場合の方が簡単な形となる.n円の場合を扱う.

  [参]小寺裕「関孝和・算聖の数学思潮」現代数学社

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  R1=(r2−r3)r1r4,R2=(r1−r4)r2r3

  R3=R1+R2

とおく.(その7)のn円環をR1とR3で書き直すと

[1]4円環

  2R1−R3=0

[2]5円環

  2R1^2−3R1R3+R3^2=0

[3]6円環

  3R1−R3=0

[4]7円環

  R1^3−6R1^2R3+5R1R3^2−R3^3=0

[5]8円環

  2R1^2−4R1R3+R3^2=0

[6]9円環

  R1^4−10R1^3R3+15R1^2R3^2−7R1R3^3+R3^4=0

[7]10円環

  5R1^2−5R1R3+R3^2=0

 この代数方程式の係数が以下の問題にも現れるという.

 1辺の長さが1の正n角形に内接(外接)する円がある.このとき,円の半径r(R)は,

  r=1/(2tan(π/n))

  R=1/(2sin(π/n))

で与えられる.ここで,tan(π/n),sin(π/n)に対してn倍角の公式を適用すると,rは代数方程式の解として得ることができる.

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 さらに,その応用として

[1]4円環

  1/r1+1/r3=1/r2+1/r4

[2]8円環

  1/r1+1/r5=1/r3+1/r7

[3]12円環

  1/r1+1/r7=1/r4+1/r10

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