エルデシュの問題「三角形の内部の点Ｐから各辺への距離の合計は，点Ｐから各頂点への距離の合計の半分以下であることを証明せよ」である．このエルデシュの問題はイギリスの数学者モーデルによって，１９３７年に証明されている．

　今回のコラムではエルデシュ・モーデルの定理に関係する，より初等的な問題を取り上げてみたい．

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［Ｑ１］凸四角形の内部に，４つの頂点からの距離の和が最少になる点を求めよ．

［Ａ１］対角線の交点．

　三角不等式「三角形の１辺は他の２辺の和より小さい」より簡単に証明できる．同様に四角不等式「四角形の１辺は他の３辺の和より小さい」，ｎ角不等式「ｎ角形の１辺は他のｎ−１辺の和より小さい」

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［Ｑ２］正方形ＡＢＣＤと同じ平面上の点Ｏがある．点Ｏから点Ａまでの距離は，点Ｏから他の３頂点までの距離の和より大きくないことを証明せよ．

［Ａ２］三角不等式より，ＡＣ＋ＯＣ＞ＯＡ，ＯＢ＋ＯＤ＞ＢＤ

　→ＡＣ＋ＯＣ＋ＯＢ＋ＯＤ＞ＯＡ＋ＢＤ

　→ＯＣ＋ＯＢ＋ＯＤ＞ＯＡ　　　（∵ＡＣ＝ＢＤ）

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［Ｑ３］凸四角形の対角線の和は，４辺の長さの和より小さいが，４辺の長さの和の１／２より大きいことを証明せよ．

［Ａ３］対角線の交点をＯとする．

［１］三角不等式より，ＡＢ＋ＢＣ＞ＡＣ，ＢＣ＋ＣＤ＞ＢＤ，ＣＤ＋ＡＤ＞ＡＣ，ＡＤ＋ＡＢ＞ＢＤ

　→２（ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＤ＋ＤＡ）＞２（ＡＣ＋ＢＤ）

　→ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＤ＋ＤＡ＞ＡＣ＋ＢＤ

［２］三角不等式より，ＯＡ＋ＯＢ＞ＡＢ，ＯＢ＋ＯＣ＞ＢＣ，ＯＣ＋ＯＤ＞ＣＤ，ＯＤ＋ＯＡ＞ＡＤ

　→２（ＯＡ＋ＯＢ＋ＯＣ＋ＯＤ）＞２（ＡＣ＋ＢＤ）＞ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＤ＋ＤＡ

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［Ｑ４］凸五角形の対角線の和は，５辺の長さの和より大きいが，５辺の長さの和の２倍より小さいことを証明せよ．

［Ａ４］対角線の交点をＰ，Ｑ，Ｒ，Ｓ，Ｔとする．

［１］三角不等式より，ＡＰ＋ＰＢ＞ＡＢ，ＢＱ＋ＱＣ＞ＢＣ，ＣＲ＋ＲＤ＞ＣＤ，ＤＳ＋ＳＥ＞ＤＥ，ＥＴ＋ＴＡ＞ＥＡ

　→ＡＰ＋ＰＢ＋ＢＱ＋ＱＣ＋ＣＲ＋ＲＤ＋ＤＳ＋ＳＥ＋ＥＴ＋ＴＡ＞（ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＤ＋ＤＥ＋ＥＡ

左辺に五角形ＰＱＲＳＴの周の長さを足せば，凸五角形の対角線の和は５辺の長さの和より大きい．

［２］三角不等式より，ＡＢ＋ＢＣ＞ＡＣ，ＢＣ＋ＣＤ＞ＢＤ，ＣＤ＋ＤＥ＞ＣＥ，ＤＥ＋ＥＡ＞ＤＡ，ＥＡ＋ＡＢ＞ＥＢ

　→凸五角形の対角線の和は，５辺の長さの和の２倍より小さい．

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［Ｑ５］三角形の内部に２点Ｘ，Ｙをとると，２点間の距離は三角形の周の長さの１／２より大きくならないことを証明せよ．

［Ａ５］ＸＹを延長し，三角形の辺との交点をＥ，Ｆとする．

三角不等式より，ＡＥ＋ＥＦ＞ＡＦ

四角不等式より，ＥＢ＋ＢＣ＋ＣＦ＞ＡＦ

両辺を加えると，ＥＦは三角形の周の長さの１／２より小さくなる．さらに，ＸＹ＜ＥＦ．

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