【４】球充填格子とルート系

　ところで，このような格子が球充填問題の解を与える．同じ大きさの球を最も密に詰め込む方法は，８次元まではよく知られていて

　　Ａ1，Ａ2，Ｄ3，Ｄ4，Ｄ5，Ｅ6，Ｅ7，Ｅ8

である．

　ルート格子Ａnはｎ＋１個の整数からなり，その和が０であるベクトル（ｘ0，ｘ1，ｘ2，・・・，ｘn）の集合，Ｄnはベクトル（ｘ1，ｘ2，・・・，ｘn）の成分がすべて整数でかつそれらの和が偶数となる格子で，チェス盤を考えればよい．

　Ｅ8格子はベクトル（ｘ1，ｘ2，・・・，ｘ8）において，成分がすべて整数であるかすべて半整数であるかであって，それらの総和が偶数．Ｅ7格子はＥ8に含まれるベクトルで，ｘ1＋ｘ2＋・・・＋ｘ8＝０を満たすもの．Ｅ6格子はＥ8に含まれるベクトルで，ｘ1＋ｘ8＝ｘ2＋・・・＋ｘ7＝０を満たすものの集合である．ノルムが２のベクトルで生成される整格子はルート格子Ａn，Ｄn，Ｅn（の直和）である（ヴィットの補題）．

ｎ　　　ルート　　　格子点間距離　　　　　　　　　　　球充填密度

１　　　Ａ1（Ｚ）　　　１　　　　　　　　　　　　　　　　１

２　　　Ａ2　　　　4√（４／３） 　＝１．０７５　　　　０．９０６

３　　　Ａ3　　　　6√２　　　　 　＝１．１２２　　　　０．７４０

４　　　Ｄ4　　　　8√４　　　　 　＝１．１８９　　　　０．６１９

５　　　Ｄ5　　　　10√８　　　　　＝１．２３１　　　　０．４６５

６　　　Ｅ6　　　　12√（６４／３）＝１．２９０　　　　０．３７３

７　　　Ｅ7　　　　14√６４　　　　＝１．３４６　　　　０．２９５

８　　　Ｅ8　　　　√２　　　　　　＝１．４１４　　　　０．２５４

ｎ　　　ルート　　球充填密度

２　　　Ａ2　　　π／２√３＝０．９０６（ラグランジュ1773，ガウス1831）

３　　　Ａ3　　　π／３√２＝０．７４０（ガウス1831）

４　　　Ｄ4　　　π^2／１６＝０．６１７（Korkine,Zolotareff,1872）

５　　　Ｄ5　　　π^2／１５√２＝０．４６５（Korkine,Zolotareff,1877）

６　　　Ｅ6　　　π^3／４８√３＝０．３７３（Blichfeldt,1925）

７　　　Ｅ7　　　π^3／１０５＝０．２９５（Blichfeldt,1926）

８　　　Ｅ8　　　π^4／３８４＝０．２５４（Blichfeldt,1934）

　歴史を振り返ってみると，ｎ＜３はガウス（1831年），ｎ＝４，５の場合は１８７０年代にコルキンとゾロタレフ，ｎ＝６，７，８は１９３５年までにブリチェフェルドにより解決された．

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