立方格子をゆがめて，すべての辺の長さの等しい平行六面体格子をつくってみる．平行六面体も空間充填多面体の１つであるからである．

　平行六面体の体積は，スカラー三重積ａ・（ｂ×ｃ），すなわち，ベクトルａと外積ｂ×ｃの内積で与えられるから，辺ａ，ｂ，ｃが互いに６０°の角度をなすようにすると，平行六面体の体積は最小値となると書かれている・・・本当だろうか？

立方格子のとき、最大値をとることは直観的にもわかるが、確かめてみたい。

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　原点が含まれるときは，

　　｜Ｓ｜＝｜ｘ1　ｙ1｜　　　｜Ｖ｜＝｜ｘ1　ｙ1　ｚ1｜

　　　　　　｜ｘ2　ｙ2｜　　　　　　　｜ｘ2　ｙ2　ｚ2｜

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜ｘ3　ｙ3　ｚ3｜

のように展開される。

x1=1,y1=0,z1=0

x2=cosθ,y2=sinθ,z2=0とおく．

x1x3/(x3^2+y3^2+z3^2)^1/2=cosθ

(x2x3+y2y3)/(x3^2+y3^2+z3^2)^1/2=cosθ

(x3^2+y3^2+z3^2)=1

より

x3=cosθ

x3cosθ+y3sinθ=cosθ

y3={cosθ-(cosθ)^2}/sinθ

z3^2=1-x3^2-y3^2

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v^2=(y2z3)^2=(sinθ)^2{1-(cosθ)^2-{cosθ-(cosθ)^2}^2/(sinθ)^2}

=(sinθ)^4-(cosθ)^2(1-cosθ)^2

=(1-(cosθ)^2)^2-(cosθ)^2(1-cosθ)^2

=1-2(cosθ)^2+(cosθ)^4-((cosθ)^2-2(cosθ)^3+(cosθ)^4)

=1-3(cosθ)^2+2(cosθ)^3

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y=1-3x^2+2x^3

y'=-6x+6x^2=6x(x-1)

x=0,1のとき極値をとる

したがって、この言明は誤りであろう。

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