三角形の５心とは，内心・傍心・重心・外心・垂心をさすが，これらは古くから知られていて，幾何学のバイブルと呼ばれるユークリッド「原論」にもその性質がいろいろ述べられている．三角形の内心は３辺への距離のうちで一番小さいものが最大になる点（マックスミニ点），外心は３頂点に至る最大距離が最小となる点（ミニマックス点），垂心は三角形に内接する三角形の周長が最小になる点（ファニャーノの問題，１７７５年），重心は３頂点に至る距離の２乗の和が最小となる点である．

　ちなみに，３頂点に至る距離の和が最小となる点をフェルマー点（シュタイナー点）という．この問題は１７世紀のフランスの数学者フェルマーがイタリアの物理学者トリチェリ，数学者カヴァリエリに出題したものとして有名な問題である．

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【１】フェルマー・シュタイナー点

　ユークリッドは三角形の中心と呼べる点を４つ（内心，重心，外心，垂心）知っていたらしいのですが，これ以外にも中心はいろいろあります．

　微分積分の入門書に「平面上に３つの定点Ａ，Ｂ，Ｃがある．この平面上に点Ｐをとって，ＡＰ^2＋ＢＰ^2＋ＣＰ^2が最小になるようにせよ」という問題が偏導関数の応用例として載せられています．その点Ｐは重心です．

　三角形の３頂点を

　　Ａ（ａ1，ａ2），Ｂ（ｂ1，ｂ2），Ｃ（ｃ1，ｃ2）

点Ｐの座標を（ｘ，ｙ）とする．

　　Ｆ＝ＡＰ^2＋ＢＰ^2＋ＣＰ^2＝（ｘ−ａ1）^2＋（ｖ−ａ2）^2＋（ｘ−ｂ1）^2＋（ｖ−ｂ2）^2＋（ｘ−ｃ1）^2＋（ｖ−ｃ2）^2

　　∂Ｆ／∂ｘ＝２（ｘ−ａ1）＋２（ｘ−ｂ1）＋２（ｘ−ｃ1）＝０

　　∂Ｆ／∂ｙ＝２（ｙ−ａ2）＋２（ｙ−ｂ2）＋２（ｙ−ｃ2）＝０

より，

　　（ｘ，ｙ）＝（（ａ1＋ｂ1＋ｃ1）／３，（ａ2＋ｂ2＋ｃ2）／３）→重心

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　３定点が４定点であっても，同じ議論になるのですが，距離の２乗の和に特に具体的な意味があるようには思えません．むしろ，２乗を取り去ったほうが問題としては自然です．

　そこで，「Ａ，Ｂ，Ｃ３軒の家に電線をひきたい．電線の長さを最小にするにはどこの柱を立てればよいか」ではＡＰ＋ＢＰ＋ＣＰを最小にする実用価値のある問題になります．

　三角形の３頂点を

　　Ａ（ａ，ｂ），Ｂ（０，０），Ｃ（ｃ，０）

点Ｐの座標を（ｘ，ｙ）とする．

　　Ｆ＝ＡＰ＋ＢＰ＋ＣＰ＝｛（ｘ−ａ1）^2＋（ｖ−ａ2）^2｝^1/2＋｛（ｘ−ｂ1）^2＋（ｙ−ｂ2）^2｝^1/2＋｛（ｘ−ｃ1）^2＋（ｙ−ｃ1）^2｝^1/2

　　∂Ｆ／∂ｘ＝２（ｘ−ａ1）／｛（ｘ−ａ1）^2＋（ｖ−ａ2）^2｝^1/2＋２（ｘ−ｂ1）／｛（ｘ−ｂ1）^2＋（ｙ−ｂ2）^2｝^1/2＋２（ｘ−ｃ1）／｛（ｘ−ｃ1）^2＋（ｙ−ｃ2）^2｝^1/2＝０

　　∂Ｆ／∂ｙ＝２（ｙ−ａ2）／｛（ｘ−ａ1）^2＋（ｖ−ａ2）^2｝^1/2＋２（ｙ−ｂ2）／｛（ｘ−ｂ1）^2＋（ｙ−ｂ2）^2｝^1/2＋２（ｙ−ｃ2）／｛（ｘ−ｃ1）^2＋（ｙ−ｃ2）^2｝^1/2＝０

　この点の座標を求めることはできそうであるが，この点の特徴を知るのは難しいだろう．

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　この問題は１７世紀のフランスの数学者フェルマーがイタリアの物理学者トリチェリ，数学者カヴァリエリに出題したものとして有名な問題で，求める点Ｐをフェルマー点（またはトリチェリ点，シュタイナー点）といいます．点Ｐは三角形ＡＢＣの内部にありますが，∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ＜１２０°のときには，３頂点に至る距離の和が最小となる点は３辺を等角１２０°に見込む点です．∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃのいずれかが≧１２０°のときには，それぞれ頂点Ａ，頂点Ｂ，頂点Ｃになります．

　このフェルマー点は頂点と外正三角形の頂点を結ぶ直線の共点として得られます．すなわち，フェルマー点を見つけるには与えられた三角形の各辺の上に正三角形を立てて各頂点と結ぶと，これら３本の線は１点Ｆで交わり∠ＡＦＢ＝∠ＢＦＣ＝∠ＣＦＡが成り立ちます．また，フェルマー点は３つの正三角形の外接円の交点でもあります．

　このような最短配線問題は最小木問題（問題の発案者シュタイナーに因んで最小シュタイナー木問題）と呼ばれていますが，ＶＬＳＩ回路を設計するときの最も基本的な技術となっています．

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　フェルマー・シュタイナー点が物理的作用と結びつくと，興味のある幾何学的効果が出現してきます．たとえば，２次元的にランダムに配列した石鹸の泡はいろいろなサイズの泡細胞からなっていますが，表面張力の要請から境界長を極小化しようとしますから，接合角度は１２０度となります（プラトー問題・最小シュタイナー木問題）．このことから，石鹸の泡は各頂点の次数がすべて３である平面図形と考えることができます．また，互いに１２０°の角度で交わる石鹸膜の交線は

　　ａｒｃｃｏｓ（−１／３）＝１０９．４７１°

で接触します．正四面体の頂点から中心に向かう３枚の膜は互いに１２０°の角度をなし，中心に集まる４本の線は１０９．４７１°（マラルディの角）をなすのです．

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