三角形の５心とは内心、傍心、重心、外心、垂心を指しますが、たとえば、三角形の各頂点から対辺に引いた３つの中線や垂線は１点に会するなど、三角形の５心の存在は共点定理の例となっています。このうち、三角形の内心は３辺への距離のうちで一番小さいものが最大となる点（マックスミニ点）、外心は３頂点に至る最大距離が最小となる点（ミニマックス点）です。同様に、垂心は三角形に内接する三角形の周長が最小になる点、重心は３頂点に至る距離の２乗の和が最小となる点です。

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　微分積分の入門書に「平面上に３つの定点Ａ，Ｂ，Ｃがある。この平面上に点Ｐをとって、ＡＰ2 ＋ＢＰ2 ＋ＣＰ2 が最小になるようにせよ」という問題が偏導関数の応用例として載せられています。その点Ｐは重心です。３定点が４定点であっても、同じ議論になるのですが、距離の２乗の和に特に具体的な意味があるようには思えません。むしろ、２乗を取り去ったほうが問題としては自然です。

そこで、「Ａ，Ｂ，Ｃ３軒の家に電線をひきたい。電線の長さを最小にするにはどこの柱を立てればよいか」ではＡＰ＋ＢＰ＋ＣＰを最小にする実用価値のある問題になります。

求める点Ｐをフェルマー点といいます。点Ｐは三角形ＡＢＣの内部にありますが、∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ＜１２０°のときには、３頂点に至る距離の和が最小となる点は３辺を等角１２０°に見込む点です。∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃのいずれかが≧１２０°のときには、それぞれ頂点Ａ、頂点Ｂ，頂点Ｃになります。このような最短配線問題は最小木問題（問題の発案者シュタイナーに因んで最小シュタイナー木問題）と呼ばれていますが、ＶＬＳＩ回路を設計するときの最も基本的な技術となっています。

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本日行われた直観幾何学研究会において、佐藤健治先生（玉川大）が三角形の頂点まで距離のｑ乗和

　　Σ｜ｘ−Ｐ｜^q

を最小にする問題を提出された。

ｑ＝1の場合がフェルマー点

ｑ＝2の場合が重心

ｑ＝∞の場合が外心

それでは・・・

[Q]ｑを変数とするときの点Ｐが描く曲線は？

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