Ｎ：三角形の面積を３等分する心は何と呼ばれていますか？　どのように作図できるだけでしょうか？

Ｓ：・・・・・（即答できなかった）

　答えが重心であることがわかるまでしばらく時間がかかったが，１年前に取り組んだ問題を思い出した．

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［１］与えられた三角形の各辺をλ：１，μ：１，ν：１に分ける位置に点をとって対頂点と結んで作った三角形の面積は，もとの三角形の面積の

　　Ｍ＝（λμν−１）^2／（λμ＋λ＋１）（μν＋μ＋１）（νλ＋ν＋１）

倍に等しくなる．

　λ＝μ＝νの場合，

　　Ｍ＝（λ^3−１）^2／（λ^2＋λ＋１）^3＝（λ−１）^3／（λ^3−１）

倍に等しくなる．λ＝μ＝ν＝２（ｋ＝１／３）のとき１／７．

　λ＝μ＝ν＝１の場合，Ｍ＝０

［２］与えられた三角形の各辺をλ：１，μ：１，ν：１に分ける位置に点をとって点同士を結んで作った三角形の面積は，もとの三角形の面積の

　　Ｍ＝（λμν＋１）／（λ＋１）（μ＋１）（ν＋１）

倍に等しくなる．

（証）１／（λ＋１）・μ／（μ＋１）＋１／（μ＋１）・ν／（ν＋１）＋１／（ν＋１）・λ／（λ＋１）＝１−（λμν＋１）／（λ＋１）（μ＋１）（ν＋１）

　λ＝μ＝νの場合，

　　Ｍ＝（λ^3＋１）／（λ＋１）^3

倍に等しくなる．λ＝μ＝ν＝２（ｋ＝１／３）のとき１／３．

　λ＝μ＝ν＝１の場合，Ｍ＝１／４．

［３］チェバの定理とメネラウスの定理

　２つの定理は一見似たような定理ですが，メネラウスの定理は「３点が１直線上にある」ことを，チェバの定理は「３直線が１点で交わる」ことを示しています．そして，・・・

『与えられた三角形の各辺をλ：１，μ：１，ν：１に分ける位置に点をとる場合，３直線が１点で交わるための必要十分条件はλμν＝１（チェバの定理），３点が同一直線上にあるための必要十分条件はλμν＝−１（メネラウスの定理）である．』

　なお，メネラウスとチェバの生存時期も１５００年以上違い，その間何もなされませんでした．不思議さを感じてしまいます．

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［Ｑ］与えられた三角形の各辺を２：１に内分する点をとって対頂点と結んで作った三角形の面積は，もとの三角形の面積の１／７であることを示せ．

［Ａ］３×３の格子を考える．もとの三角形の頂点を（１，０），（３，１），（０，３）に移す線形変換をφとする．線形変換で面積は変化するが面積比は変わらない．このとき，中の三角形は（１，１），（２，１），（１，２）に移される．ピックの公式により面積はそれぞれ７／２，１／２，従って面積比は７：１である．

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