【３】カザリノフの不等式

　次に，三角形の代わりに４面体を用います．４面体のある内点から各面までの距離ｒ1，・・・，ｒ4，各頂点までの距離をＲ1，・・・，Ｒ4で表すことにします．

　一般に，三角形の重心の性質は四面体に遺伝するので，

　　Ｒ1＋Ｒ2＋Ｒ3＋Ｒ4≧３（ｒ1＋ｒ2＋ｒ3＋ｒ4）

となるはずですが，ところが，これが成立しないのです．

　４面体では

　　Ｒ1＋Ｒ2＋Ｒ3＋Ｒ4≧√８（ｒ1＋ｒ2＋ｒ3＋ｒ4）

　　Ｒ1Ｒ2Ｒ3Ｒ4≧８１ｒ1ｒ2ｒ3ｒ4

であることが示されています．

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【４】三角形に関する不等式（続き）

　　ｓｉｎα／２・ｓｉｎβ／２・ｓｉｎγ／２≦１／８

　　ｓｉｎα／２＋ｓｉｎβ／２＋ｓｉｎγ／２≦３／２

　　ｃｏｓα／２・ｃｏｓβ／２・ｃｏｓγ／２≦３√３／２

　　ｃｏｓα／２＋ｃｏｓβ／２＋ｃｏｓγ／２≦３／２

　　ｔａｎα／２・ｔａｎｃｏｓβ／２・ｔａｎγ／２≧√３

　　ｔａｎα／２＋ｔａｎｃｏｓβ／２＋ｔａｎγ／２≦√３／９

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