さて，いよいよここからが本題です．三角不等式というと「三角形の２辺の和は他の１辺より長い」が思い起こされますが，与えられた三角形の外接円の半径Ｒおよび内接円の半径ｒとおくと，

　　Ｒ≧２ｒ

となることを主張する，もうひとつの三角不等式を証明してみることにしましょう．

（問題）Ｒ≧２ｒ　　　等号は正三角形のときに限る．

（証明）

　外接円と内接円の中心間の距離をｄとおくとき，Ｒ^2−２Ｒｒ＝ｄ^2が成り立ちます（オイラーの定理）．この関係式を導き出せば，ただちにＲ≧２ｒがわかるのですが，この関係式を導き出すことは見かけよりもやっかいで，ヘロンの公式を使ったほうがほうが簡単です．

　ヘロンの公式とは，任意の三角形の三辺の長さをａ，ｂ，ｃ，面積をΔとして，

Δ^2＝（２ａ^2ｂ^2＋２ｂ^2ｃ^2＋２ｃ^2ａ^2−ａ^4−ｂ^4−ｃ^4）／１６

　　＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（−ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ−ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ−ｃ）／１６

　ここで，２ｓ＝ａ＋ｂ＋ｃとおくと

Δ^2＝ｓ（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）

となり，おなじみの平面三角形のヘロンの公式が得られます．

　外接円の半径Ｒおよび内接円の半径ｒをａ，ｂ，ｃ，Δで表すと，

　　ａｂｃ＝４ＲΔ　　　　　　　（正弦定理）

　　（ａ＋ｂ＋ｃ）ｒ＝２Δ　　　（寄木細工定理）

ここで，

　　ｓ1＝ａ＋ｂ＋ｃ，

　　ｓ2＝ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ，

　　ｓ3＝ａｂｃ

とおくとき，Ｒ≧２ｒは

　　ｓ1ｓ3≧１６Δ^2

　　ｓ1^3−４ｓ1ｓ2＋９ｓ3≧０

と同値．

　実際にやってみると

　　ｓ1^3−４ｓ1ｓ2＋９ｓ3＝１／２［（ｂ−ｃ）^2（ｂ＋ｃ−ａ）＋（ｃ−ａ）^2（ｃ＋ａ−ｂ）＋（ａ−ｂ）^2（ａ＋ｂ−ｃ）］≧０

ｂ＋ｃ−ａ＞０，ｃ＋ａ−ｂ＞０，ａ＋ｂ−ｃ＞０ですから，等号はａ＝ｂ＝ｃのときに限ることがわかります．

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　とはいってもこれを計算で出すのは大変ですし，この方法で高次元への拡張がうまくいくとはとても思えません．そこで，簡単な補助定理

ａ）ｎ次元球に内接および外接するすべての単体のなかで正則単体はそれぞれ最大および最小の体積をもっていること

ｂ）一様な棒の重心は両端の間の距離を１：１に，三角形の重心は中線を２：１に，四面体の重心は頂点と向かいあう面の重心との距離を３：１に内分します．すなわち，四面体の重心は１つの面の重心から対頂点に引いた直線の１／４の点にあること，・・・

を使うことによって，以下の不等式が得られます．

　三角不等式：Ｒ≧２ｒは３次元空間へも拡張できて，４面体では

　　Ｒ≧３ｒ　　　（４面体不等式）

三角形の重心の性質は四面体に遺伝するのです．

　また，４次元以上でもこの規則性が失われることはありそうもなく，同様に類推されます．すなわち，ｎ次元単体でも同様に

　　Ｒ≧ｎｒ　　　（単体不等式）

が成り立ちます．一般に，体積が与えられた単体において，頂点からある任意の点までの距離の和は，その単体が正則でありかつその点が重心であるときに極小値に達します．

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