■三角形の初等幾何学(その14)

  sinαsinβsinγ≦3√3/8

がわかっていたから

  sinαsinβsinγ≦(3√3/2π)^3αβγ

はほぼ自明であったが,そうでなければ

  sinx=x−x^3/3!+x^5/5!−x^7/7!+・・・

  sinx/x=1−x^2/3!+x^4/5!−x^6/7!+・・・

を使わなければならない問題なのだろうか?

===================================

  sinx=x−x^3/3!+x^5/5!−x^7/7!+・・・

より,

  x−x^3/3!<sinx<x

  (α−α^3/6)(β−β^3/6)(γ−γ^3/6)<sinαsinβsinγ<αβγ

  (α−α^3/6)(β−β^3/6)(γ−γ^3/6)

=αβγ−αβγ^3/6−αβ^3γ/6−αβ^3γ/6+αβ^3γ^3/36+α^3βγ^3/36+α^3β^3γ/36−α^3β^3γ^3/108

≒αβγ(1−(α^2+β^2+γ^2)/6)

 α^2+β^2+γ^2≧3αβγ

 αβγ(1−(α^2+β^2+γ^2)/6)≦αβγ(1−αβγ/2)

などとしてもNGであろう.

  sinαsinβsinγ<(α−α^3/6+α^5/120)(β−β^3/6+β^5/120)(γ−γ^3/6+γ^5/120)

などもNGと思われる.

===================================