【３】ヘロンの公式

　任意の三角形の三辺の長さをａ，ｂ，ｃ，面積をΔとすると，外接円の半径Ｒおよび内接円の半径ｒは

　　ａｂｃ＝４Ｒ△，

　（ａ＋ｂ＋ｃ）ｒ＝２△

で表されますが，ここで２ｓ＝ａ＋ｂ＋ｃとおくと，Δ＝ｒｓ

　　Δ^2＝ｓ（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）

となり，おなじみの平面三角形のヘロンの公式が得られます．

　ヘロンの公式は，また，

　　１６Δ^2＝（２ａ^2ｂ^2＋２ｂ^2ｃ^2＋２ｃ^2ａ^2−ａ^4−ｂ^4−ｃ^4）　　　　　　＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（−ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ−ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ−ｃ）

とも表されます．

（問題）Ｒ≧２ｒ　　　等号は正三角形のときに限る．

（証明）

　外接円と内接円の中心間の距離をｄとおくとき，

　　Ｒ^2−２Ｒｒ＝ｄ^2

が成り立っています（オイラーの定理）．この関係式を導き出せば，ただちにＲ≧２ｒがわかるのですが，この関係式を導き出すことは見かけよりもやっかいで，ヘロンの公式を使ったほうがほうが簡単です．

　外接円の半径Ｒおよび内接円の半径ｒをａ，ｂ，ｃ，Δで表すと，

　　ａｂｃ＝４ＲΔ　　　　　　　（正弦定理）

　　（ａ＋ｂ＋ｃ）ｒ＝２Δ　　　（寄木細工定理）

ここで，

　　ｓ1＝ａ＋ｂ＋ｃ，

　　ｓ2＝ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ，

　　ｓ3＝ａｂｃ

とおくとき，Ｒ≧２ｒは

　　ｓ1ｓ3≧１６Δ^2

　　ｓ1^3−４ｓ1ｓ2＋９ｓ3≧０

と同値．

　実際にやってみると

　　ｓ1^3−４ｓ1ｓ2＋９ｓ3＝１／２［（ｂ−ｃ）^2（ｂ＋ｃ−ａ）＋（ｃ−ａ）^2（ｃ＋ａ−ｂ）＋（ａ−ｂ）^2（ａ＋ｂ−ｃ）］≧０

ｂ＋ｃ−ａ＞０，ｃ＋ａ−ｂ＞０，ａ＋ｂ−ｃ＞０ですから，等号はａ＝ｂ＝ｃのときに限ることがわかります．

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