■フィボナッチ数かつ立方数(その6)

ブジョー・ミニョット・シクセクの定理

フィボナッチ数のうち、N^mの形のものは0,a1=a2=1,a6=8,a12=144のみである。no

これはフェルマー予想と同様の方針で証明されたとのことである

一方、1を除くと8はフィボナッチ数の中でただ一つの立方数、144はただ一つの平方数です。これは初等的手法による証明とのことである

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フィボナッチ数列

f(x)=(x)/(1-x-x^2)=(1/√5)/(1-αx)-(1/√5)/(1-βx)

α=(1+√5)/2、β=(1-√5)/2,αβ=-1,α^2+β^2=3、β=-1/α

Fn=1/√5・{α^n-β^n}

 a0=0,a1=1,a2=1

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リュカ数列の漸化式は

 a0=2,a1=1,a2=3

an=an-1+an-2 (n≧2)

f(x)=(2-x)/(1-x-x^2)=(1)/(1-αx)+(1)/(1-βx)

α=(1+√5)/2、β=(1-√5)/2

Ln={α^n+β^n}

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5(Fn)^2-(Ln)^2=4(-1)^n+1

5(Fn)^2-(Ln)^2=α^2n+β^2n-2(αβ)^n-α^2n-β^2n-2(αβ)^n

=-4(αβ)^n==4(-1)^(n+1)

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m|n→Fm|Fn

2Fm+n=FmLn+FnLm

2Lm+n=5FmLn+FmLn

L4m=(L2m)^2-2

(F3m,L3m)=2

not 3|m→(Fm,Lm)=1

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L6p=2 (mod4)

k=2^r,r≧1→Lk=3 (mod4)

k=2^r→(-1/Lk)=-1,(2/Lk)=1

k=2^r,r≧2→not (3|Lk)

k=2^r,r≧1→Fl+2k=-Fl (mod Lk)

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n=0,1,2,6,11 (mod12)でなければFnは平方数ではない。

x^2=0,1,4 (mod8)であるから

n=3,9 (mod 12)のとき、Fn=2 (mod 8)

n=4 (mod 12)のとき、Fn=3 (mod 8)

n=5,7,8 (mod 12)のとき、Fn=5 (mod 8)

n=10 (mod 12)のとき、Fn=7 (mod 8)

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n=6 (mod12)ならばFnは平方数ではない。

n=12p+q、q=-1,1,2ならばFnは平方数ではない。

n=24p+12ならばFnは平方数ではない。

n=24p+12ならば1/2・Fnは平方数ではない。

n=0 (mod12),Fnは平方数ならばn=12, F12=144

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フィボナッチ数列の第12項は144=12^2である.(自明な1は別にすると)フィボナッチ数でかつ平方数となることが知られている唯一の数である.

 このタイプの数n^2が他にあるとすると,それはフィボナッチ数列の第n項になっていることが知られている.・・・上の証明はここのことを示しているだろうか?

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