ブジョー・ミニョット・シクセクの定理

フィボナッチ数のうち、N^mの形のものは０，a1=a2=１，a6=８，a12=１４４のみである。no

これはフェルマー予想と同様の方針で証明されたとのことである

一方、１を除くと８はフィボナッチ数の中でただ一つの立方数、１４４はただ一つの平方数です。これは初等的手法による証明とのことである

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

フィボナッチ数列

f(x)=(x)/(1-x-x^2)=(1/√5)/(1-αx)-(1/√5)/(1-βx)

α=(1+√5)/2、β=(1-√5)/2,αβ=-1,α^2+β^2=3、β=-1/α

Fn=1/√5・{α^n-β^n}

　a0=0,a1=1,a2=1

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

リュカ数列の漸化式は

　a0=2,a1=1,a2=3

an=an-1+an-2 (n≧2)

f(x)=(2-x)/(1-x-x^2)=(1)/(1-αx)+(1)/(1-βx)

α=(1+√5)/2、β=(1-√5)/2

Ln={α^n+β^n}

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

5(Fn)^2-(Ln)^2=4(-1)^n+1

5(Fn)^2-(Ln)^2=α^2n+β^2n-2(αβ)^n-α^2n-β^2n-2(αβ)^n

＝-4(αβ)^n==4(-1)^(n+1)

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

m|n→Fm|Fn

2Fm+n=FmLn+FnLm

2Lm+n=5FmLn+FmLn

L4m=(L2m)^2-2

(F3m,L3m)=2

not 3|m→(Fm,Lm)=1

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

L6p=2 (mod4)

k=2^r,r≧1→Lk=3 (mod4)

k=2^r→(-1/Lk)=-1,(2/Lk)=1

k=2^r,r≧2→not (3|Lk)

k=2^r,r≧1→Fl+2k=-Fl (mod Lk)

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

n=0,1,2,6,11　(mod12)でなければFnは平方数ではない。

x^2=0,1,4 (mod8)であるから

n=3,9　(mod 12)のとき、Fn=2 (mod 8)

n=4　(mod 12)のとき、Fn=3 (mod 8)

n=5,7,8　(mod 12)のとき、Fn=5 (mod 8)

n=10　(mod 12)のとき、Fn=7 (mod 8)

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

n=6　(mod12)ならばFnは平方数ではない。

n=12p+q、q=-1,1,2ならばFnは平方数ではない。

n=24p+12ならばFnは平方数ではない。

n=24p+12ならば1/2・Fnは平方数ではない。

n=0　(mod12),Fnは平方数ならばn=12, F12=144

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

フィボナッチ数列の第１２項は１４４＝１２^2である．（自明な１は別にすると）フィボナッチ数でかつ平方数となることが知られている唯一の数である．

　このタイプの数ｎ^2が他にあるとすると，それはフィボナッチ数列の第ｎ項になっていることが知られている．・・・上の証明はここのことを示しているだろうか？

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝