【２】合同式

［Ｑ］１^2＋２^2＋３^2＋・・・＋ｍ^2＝ｍ（ｍ＋１）（２ｍ＋１）／６＝ｎ^2，ｍは６の倍数で，ｎ＜１００という制限をつけて，ｍを求めてみよ．

ｍ＝６ｋ

ｍ（ｍ＋１）（２ｍ＋１）／６＝ｋ（６ｋ＋１）（１２ｋ＋１）＝ｎ^2

ｋ，６ｋ＋１，１２ｋ＋１はどの２つも互いに素であるから，すべて平方数であるようなｋをみつければよい．

　　ｋ（６ｋ＋１）（１２ｋ＋１）＝ｎ^2＜１００００→ｋ≦１６

ｋ　　　　＝１，４，９，１６

６ｋ＋１　＝７，２５，５５，９７

１２ｋ＋１＝１３，４９，９９，１９３

ｋ＝４，６ｋ＋１＝２５，１２ｋ＋１＝４９→ｍ＝２４，ｎ＝７０

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［Ｑ］１^2＋２^2＋３^2＋・・・＋ｍ^2＝ｍ（ｍ＋１）（２ｍ＋１）／６＝ｎ^2，ｍ＝６ｋ＋３のとき，ｎは存在しないことを示せ．

ｍ＝６ｋ＋３

ｍ（ｍ＋１）（２ｍ＋１）／６＝（２ｋ＋１）（３ｋ＋２）（１２ｋ＋７）＝ｎ^2

２ｋ＋１，３ｋ＋２，１２ｋ＋７はどの２つも互いに素であるから，すべて平方数であるようなｋは存在しないことを示されればよい．→少なくともひとつは平方数でないことが示されればよい．

　３ｋ＋２は平方数でないことは，

ｍ＝３ｋ→ｍ^2＝３（３ｋ^2）

ｍ＝３ｋ＋１→ｍ^2＝３（ｋ^2＋２ｋ）＋１

ｍ＝３ｋ−１→ｍ^2＝３（ｋ^2−２ｋ）＋１

より証明されます．

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［Ｑ］１^2＋２^2＋３^2＋・・・＋ｍ^2＝ｍ（ｍ＋１）（２ｍ＋１）／６＝ｎ^2，ｍ＝６ｋ＋２のとき，ｎは存在しないことを示せ．

ｍ＝６ｋ＋２

ｍ（ｍ＋１）（２ｍ＋１）／６＝（３ｋ＋１）（２ｋ＋１）（１２ｋ＋５）＝ｎ^2

１２ｋ＋５＝２　　（ｍｏｄ３）

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［Ｑ］１^2＋２^2＋３^2＋・・・＋ｍ^2＝ｍ（ｍ＋１）（２ｍ＋１）／６＝ｎ^2，ｍ＝６ｋ＋４のとき，ｎは存在しないことを示せ．

ｍ＝６ｋ＋４

ｍ（ｍ＋１）（２ｍ＋１）／６＝（３ｋ＋２）（６ｋ＋５）（４ｋ＋３）＝ｎ^2

３ｋ＋２＝２　　（ｍｏｄ３）

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［Ｑ］１^2＋２^2＋３^2＋・・・＋ｍ^2＝ｍ（ｍ＋１）（２ｍ＋１）／６＝ｎ^2，ｍ＝６ｋ＋５のとき，ｎは存在しないことを示せ．

ｍ＝６ｋ＋５

ｍ（ｍ＋１）（２ｍ＋１）／６＝（６ｋ＋５）（ｋ＋１）（１２ｋ＋１１）＝ｎ^2

６ｋ＋５＝２　　（ｍｏｄ３）

これでｍ＝６ｋ，６ｋ＋１の場合だけになったが，これを続けていくと，１^2＋２^2＋３^2＋・・・＋ｍ^2＝ｍ（ｍ＋１）（２ｍ＋１）／６＝ｎ^2が成り立つとき，ｍ＝０，１（ｍｏｄ２４）であることが示されている．

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