【１】フェルマーの主張（その１）

　整数解を要求する２変数１次方程式ａｘ＋ｂｙ＝ｃ，２変数２次方程式ａｘ^2＋ｂｙ^2＝ｃ（ａ，ｂ，ｃは整数）などは，ギリシャのディオファントスにちなんでディオファントスの不定方程式と呼ばれます．

　たとえば，ｙ^2＝ｘ^3−２の整数解について，ディオファントスはｙ＝ｔ＋１，ｘ＝ｔ−１とおき，ｙ^2＝ｘ^3−２に代入するとｔ^2＋２ｔ＋１＝ｔ^3−３ｔ^2＋３ｔ−３．この式はｔ（ｔ^2＋１）＝４（ｔ^2＋１）と変形できるので，ｔ＝４すなわちｙ＝５，ｘ＝３が解であるとしています．

　しかし，端的にいって，このような解き方にはアート（技巧）はあってもセオリー（一般的理論）がなく，勘や経験や個々の問題の性質に負っていて，決定打ではありません．問題はこの型の不定方程式に対するすべての整数解，あるいは有理数解を求めることですが，フェルマーは方程式ｙ^2＝ｘ^3−２は（ｘ，ｙ）＝（３，±５）以外に整数解をもたないということを主張しています．

　これについては２次体Ｑ（√２）における整数の素因数分解から導かれますが，次に述べるジーゲルの定理の１例となっています．

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【２】ジーゲルの定理（１９２９年）

　「整数係数の楕円曲線上には整数解が有限個しかない．」

　これを証明したのはジーゲルで，その定理はジーゲルの有限性定理（１９２９年）と呼ばれています．したがって，３次曲線ａｘ^3＋ｂｙ^3＝ｃや楕円曲線ｙ^2＝ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄなど，３次以上の不定方程式には一般に整数解が有限個しかないことになります．この定理により，すべての２変数多項式の可解性が決定したわけではありませんが，少なくとも２変数２次多項式の可解性条件はわかったことになります．

　なお，楕円曲線ｙ^2＝ｘ^3−ｘ＋９上には±（０，３），±（１，３），±（１，−３），±（９，２７），±（３５，２０７），±（３７，２２５），±（４６５８４，１００５４３７７）および無限遠点の計１５個もの整数点が見つかるとのことです．

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【３】モーデル・ファルティングスの定理（１９８３年）

　１９２０年，イギリスの数学者モーデルは

　　ａｘ^4＋ｂｘ^3ｚ＋ｃｚ^2ｙ^2＋ｄｘ^3ｙ＋ｃｙ^4＝０

のように３変数４次不定方程式には整数解が有限個しかない，さらに４次以上何次になってもそうであろうと予想しました（モーデル予想）．

　変数を複素数の範囲で考えると，楕円曲線ｙ^2＝ｘ^3−ｘ＋９はトーラス，ｘ^4＋ｙ^4−１＝０は３重トーラスになるのですが，浮輪の穴の数によって方程式の解の様子が変化していくことをモーデルは予想したのです．

　モーデル予想は５０年以上にわたって未解決であったのですが，１９８３年，ドイツの数学者ファルティングスがこの予想を解決しました．

　「種数が２以上の代数曲線（超楕円曲線）は有理点を有限個しかもたない．」

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