■多角数とペル方程式(その47)

 ブラーマグプタの銘言に「数学者とは

  x^2−92y^2=1

を1年以内に解ける人のことである」とあるそうです.(x,y)=(1151,120)はこのペル方程式の整数解となります.

 それに対して

  x^2−92y^2=4

は比較的簡単に見つかりそうです.

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【1】ブラーマグプタの恒等式

  (x1^2−Ny1^2)(x2^2−Ny2^2)=(x1x2+Ny1y2)^2−N(x1y2+x2y1)^2

 たとえば,x=10,y=1のとき

  x^2−92y^2=8

比較的小さい値なので,これを使うことにする.

[1]ブラーマグプタの恒等式に

  N=92,x1=x2=10,y1=y2=1

を代入すると

  8^2=192^2−192・20^2

  1=24^2−92・(5/2)^2

[2]このことから直ちに

  4=48^2−92・5^2

したがって,(x,y)=(48,5)は当該のペル方程式の整数解となる.

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