【２】エルデシュの不等式

　三角不等式（Ｒ≧２ｒ）は，より一般的には「△ＡＢＣ内の任意の点Ｐから，各頂点までの距離をＲ1，Ｒ2，Ｒ3，各辺（またはその延長）までの距離をｒ1，ｒ2，ｒ3とすれば，

　　Ｒ1＋Ｒ2＋Ｒ3≧２（ｒ1＋ｒ2＋ｒ3）

等号は△ＡＢＣが正三角形で，Ｐがその重心であるとき」

で与えられます．

　これが「エルデシュの定理」で，この定理はＲ≧２ｒの一般化であると考えられます．エルデシュの定理は，簡単に

　　Ａ（Ｒ）≧２Ａ（ｒ）

と書けますが，Ａは算術平均の略で，Ｒの算術平均≧２（ｒの算術平均）という意味です．

　エルデシュの定理は，算術平均Ａを調和平均Ｈ，幾何平均Ｇに置き換えても成り立ちます．すなわち，

　　Ｒ1Ｒ2Ｒ3≧８ｒ1ｒ2ｒ3

　　１／ｒ1＋１／ｒ2＋１／ｒ3≧２（１／Ｒ1＋１／Ｒ2＋１／Ｒ3）

　また，２次の基本対称式に対しては

　　Ｒ1Ｒ2＋Ｒ2Ｒ3＋Ｒ3Ｒ1≧４（ｒ1ｒ2＋ｒ2ｒ3＋ｒ3ｒ1）

も知られています．この種の不等式は美しい．しかし，証明は難しい・・・．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【４】任意の多面体への拡張

　　Ａ（Ｒ）≧ＣＡ（ｒ）

の右辺の算術平均：Ａ（ｒ）をもっと小さな平均値，調和平均：Ｈ（ｒ）で置き換えることを試みます

　　ωn＝ｎ／（ｎ−２）・π／６　　　ｎ≧３

を導入しておきます．球面上にｎ個の点を配置した場合，２ｎ−４はｎ個の頂点をもつ三角形面正多面体の面数となりますから，△n＝６ωn−πは単位球面が分割されてできる球面三角形の平均面積，また，球面正三角形の場合，２ωnは面積が６ωn−πの球面正三角形△nの１つの内角を表しています．

ａ）ｎ個の頂点またはｎ個の面をもつ凸多面体の内接球半径ｒおよび外接球半径Ｒの間には，球殻不等式

　　Ｒ／ｒ≧√３ｔａｎωn

が成立します．ｎ＝４のとき，ωn＝π／３．したがって，

　　Ｒ／ｒ≧３　　　（４面体不等式）

が得られます．

　これを一般化すると，

ｂ）単位球を含む，ｎ個の面をもつ３稜頂点多面体において，球の中心から各頂点までの距離をＲ1，・・・，Ｒ2n-4とすれば，

　　Ａ（Ｒ1，・・・，Ｒ2n-4）≧√３ｔａｎωn

ｃ）ｎ個の頂点をもつ三角形面多面体が単位球に含まれるとき，球の中心から各面までの距離ｒ1，・・・，ｒ2n-4とすれば，

　　Ｈ（ｒ1，・・・，ｒ2n-4）≧１／√３ｃｏｔωn

ここで，Ａ，Ｈはそれぞれ算術平均，調和平均を表しているのですが，等号は５つの正多面体に対して成り立ちます．

　Ａ（Ｒ）／Ｈ（ｒ）≧√３ｔａｎωnは一般的に成り立ちませんが，しかし，Ａ（Ｒ，ｑ）をそれぞれの頂点における稜数ｑで重みづけをした算術平均，Ｈ（ｒ，ｐ）をそれぞれの面の辺数で重みづけした調和平均とすると，

ｄ）三角形面多面体において

　　Ａ（Ｒ，ｑ）／Ｈ（ｒ）≧√３ｔａｎωn

ｅ）３稜頂点多面体において

　　Ａ（Ｒ）／Ｈ（ｒ，ｐ）≧√３ｔａｎωn

が成り立ちます．

　これらの不等式は，頂点数ｖあるいは面数ｆの与えられた多面体に関する不等式でしたが，稜数がｅの凸多面体に対しては

ｆ）　Ｒ／ｒ≧√３ｔａｎ｛ｅ／（ｅ−３）・π／６｝

　等号は正４面体に対してのみ成り立つ．

ｇ）　Ｒ／ｒ≧ｔａｎ^2｛（ｅ＋２）／ｅ・π／２｝

は前式よりも一般的で精密で，等号は正４面体に対してのみ成り立ちます．

　凸多角形ではｖ−ｅ＝０でしたから，ｎ角形は必然的にｎ辺形になりましたが，凸多面体では

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２

ですから，多角形の３次元空間への拡張は，頂点数ｖ，稜数ｅ，面数ｆがともに与えられることによって完全になります．そこで，多面体の平均面数，平均稜数をそれぞれ

　　ｐ~＝２ｅ／ｆ，ｑ~＝２ｅ／ｖ

とおくと，

　　ｅｓｉｎ（２π／ｐ~）（ｔａｎ^2（π／ｐ~）ｔａｎ^2（π／ｑ~）−１）ｒ^2≦Ｓ≦ｅｓｉｎ（２π／ｐ~）（１−ｃｏｔ^2（π／ｐ~）ｃｏｔ^2（π／ｑ~）−１）Ｒ^2

　　ｅ／３ｓｉｎ（２π／ｐ~）（ｔａｎ^2（π／ｐ~）ｔａｎ^2（π／ｑ~）−１）ｒ^3≦Ｖ≦２ｅ／３ｃｏｓ^2（２π／ｐ~）ｃｏｔ（２π／ｑ~）（１−ｃｏｔ^2（π／ｐ~）ｃｏｔ^2（π／ｑ~））Ｒ^3

　これより，内接球半径，外接球半径をそれぞれｒ，Ｒとすれば，球殻不等式

ｈ）　Ｒ／ｒ≧ｔａｎ（π／ｐ~）ｔａｎ（π／ｑ~）

が導かれます．等号は正多面体に対して成り立つのですが，残念なことに，この式は証明が不完全で，予想にしかすぎません．

　また，これらをひとまとめにすると

ｉ）　Ａ（Ｒ，ｑ）／Ｈ（ｒ，ｐ）≧ｔａｎ（π／ｐ~）ｔａｎ（π／ｑ~）

も予想されるのですが，・・・．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝