■幾何的な等式と不等式(その11)

【2】エルデシュの不等式

 

 三角不等式(R≧2r)は,より一般的には「△ABC内の任意の点Pから,各頂点までの距離をR1,R2,R3,各辺(またはその延長)までの距離をr1,r2,r3とすれば,

  R1+R2+R3≧2(r1+r2+r3)

等号は△ABCが正三角形で,Pがその重心であるとき」

で与えられます.

 

 これが「エルデシュの定理」で,この定理はR≧2rの一般化であると考えられます.エルデシュの定理は,簡単に

  A(R)≧2A(r)

と書けますが,Aは算術平均の略で,Rの算術平均≧2(rの算術平均)という意味です.

 

 エルデシュの定理は,算術平均Aを調和平均H,幾何平均Gに置き換えても成り立ちます.すなわち,

  R1R2R3≧8r1r2r3

  1/r1+1/r2+1/r3≧2(1/R1+1/R2+1/R3)

 

 また,2次の基本対称式に対しては

  R1R2+R2R3+R3R1≧4(r1r2+r2r3+r3r1)

も知られています.この種の不等式は美しい.しかし,証明は難しい・・・.

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【2】エルデシュの不等式の重み付き版

  R1+R2+R3≧2(r1+r2+r3)

  λ1R1+λ2R2+λ3R3≧2(√λ2λ3r1+√λ3λ1r2+√λ1λ2r3)

λ1=λ2=λ3の場合がもとのエルデシュ・モーデルの不等式である。

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