三角形の５心とは，内心・傍心・重心・外心・垂心をさすが，これらは古くから知られていて，幾何学のバイブルと呼ばれるユークリッド「原論」にもその性質がいろいろ述べられている．三角形の内心は３辺への距離のうちで一番小さいものが最大になる点（マックスミニ点），外心は３頂点に至る最大距離が最小となる点（ミニマックス点），垂心は三角形に内接する三角形の周長が最小になる点（ファニャーノの問題，１７７５年），重心は３頂点に至る距離の２乗の和が最小となる点である．

　ちなみに，３頂点に至る距離の和が最小となる点をフェルマー点（シュタイナー点）という．この問題は１７世紀のフランスの数学者フェルマーがイタリアの物理学者トリチェリ，数学者カヴァリエリに出題したものとして有名な問題である．

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【１】フェルマー・シュタイナー点

　ユークリッドは三角形の中心と呼べる点を４つ（内心，重心，外心，垂心）知っていたらしいのですが，これ以外にも中心はいろいろあります．

　微分積分の入門書に「平面上に３つの定点Ａ，Ｂ，Ｃがある．この平面上に点Ｐをとって，ＡＰ^2＋ＢＰ^2＋ＣＰ^2が最小になるようにせよ」という問題が偏導関数の応用例として載せられています．その点Ｐは重心です．３定点が４定点であっても，同じ議論になるのですが，距離の２乗の和に特に具体的な意味があるようには思えません．むしろ，２乗を取り去ったほうが問題としては自然です．

　そこで，「Ａ，Ｂ，Ｃ３軒の家に電線をひきたい．電線の長さを最小にするにはどこの柱を立てればよいか」ではＡＰ＋ＢＰ＋ＣＰを最小にする実用価値のある問題になります．

　この問題は１７世紀のフランスの数学者フェルマーがイタリアの物理学者トリチェリ，数学者カヴァリエリに出題したものとして有名な問題で，求める点Ｐをフェルマー点（またはトリチェリ点，シュタイナー点）といいます．点Ｐは三角形ＡＢＣの内部にありますが，∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ＜１２０°のときには，３頂点に至る距離の和が最小となる点は３辺を等角１２０°に見込む点です．∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃのいずれかが≧１２０°のときには，それぞれ頂点Ａ，頂点Ｂ，頂点Ｃになります．

　このフェルマー点は頂点と外正三角形の頂点を結ぶ直線の共点として得られます．すなわち，フェルマー点を見つけるには与えられた三角形の各辺の上に正三角形を立てて各頂点と結ぶと，これら３本の線は１点Ｆで交わり∠ＡＦＢ＝∠ＢＦＣ＝∠ＣＦＡが成り立ちます．また，フェルマー点は３つの正三角形の外接円の交点でもあります．

　このような最短配線問題は最小木問題（問題の発案者シュタイナーに因んで最小シュタイナー木問題）と呼ばれていますが，ＶＬＳＩ回路を設計するときの最も基本的な技術となっています．

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　フェルマー・シュタイナー点が物理的作用と結びつくと，興味のある幾何学的効果が出現してきます．たとえば，２次元的にランダムに配列した石鹸の泡はいろいろなサイズの泡細胞からなっていますが，表面張力の要請から境界長を極小化しようとしますから，接合角度は１２０度となります（プラトー問題・最小シュタイナー木問題）．このことから，石鹸の泡は各頂点の次数がすべて３である平面図形と考えることができます．また，互いに１２０°の角度で交わる石鹸膜の交線は

　　ａｒｃｃｏｓ（−１／３）＝１０９．４７１°

で接触します．正四面体の頂点から中心に向かう３枚の膜は互いに１２０°の角度をなし，中心に集まる４本の線は１０９．４７１°（マラルディの角）をなすのです．

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【２】ファニャーノの最小周三角形問題

　ある位置からある角度でビリヤードの球を発射させると，何回か壁にあたった後，最初と同じ位置・同じ角度で戻ってくる場合がある．ｎ回壁にあった後，同じ状態に戻る場合をｎ周期軌道と呼ぶことにすると，与えられたｎに対して発射角度を求めるというのがおなじみのビリヤード問題である．

　この問題に対する基本的な考え方は，球を反射させる代わりに，ビリヤード台の鏡像を枠の外に作ってやるというものである．すなわち，軌道自体を折り曲げる代わりに衝突するたびに衝突した辺を軸にビリヤード台自身をひっくり返すのである．

　このような図形を鏡像群と呼べば，鏡像群を貫く直線がビリヤード球の軌跡に対応する．そして，この表示法のもとで長方形の互いに向かい合う辺同士をを同一視するとトーラスが得られる．トーラスの中で長方形ビリヤードの軌道は単純な直線運動で表されることになる．

　一般の三角形ビリヤードの周期性について考えてみよう．鋭角三角形のビリヤード台を考えると，各辺で１回ずつ反射して常に同じ軌道をぐるぐると周り続ける巡回軌道が存在する．また，三角形の内部を２回以上回って最初の点に戻るような巡回軌道は無数に考えられる．

　三角形ビリヤードの場合，球があたる壁を中心として鏡像を貼り付けていくと，６個目の鏡像で最初の三角形を平行移動させたものが登場する．このことは任意の位置から特定の角度でビリヤードの球を発射させると６回壁にあたった後，最初と同じ位置・同じ角度で戻ってくることができることを意味している．

　ちょうど１周で最初の点に戻る巡回軌道はあらゆる巡回軌道のなかで最短のものであって，三角形の各頂点から対辺に下ろした垂線の足を結ぶ「垂足三角形」に限られる．すなわち，垂線の足の位置から他の垂線の足の位置に向けてビリヤードの球を発射させると，３回壁にあたった後，最初と同じ位置・同じ角度で戻ってくるのである．

　三角形の内部を２回以上回って最初の点に戻るような巡回軌道でもこの軌道上の各辺はいずれも垂足三角形の辺と平行である．また，四角形ビリヤードでは，四角形が円に内接し円の中心が四角形の内部にある場合，そのような四角形の内部には巡回軌道が存在しうることが知られている．

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