美しい対称性を保っている累乗数ａ^bとｂ^aについて考えることにする．まず，

　１６＝２^4＝４^2

は特異な関係である．これ以外のどんな数もａ^b≠ｂ^aであるからである．

　それならは差１を許すことにする．９＝３^2と８＝２^3は連続する累乗数である．３^2と２^3のように連続する累乗数も特異な関係である．これ以外のどんな数もａ^b−ｂ^a≠１であるからである．

　ａ^bとｂ^aではないが，平方数と立方数を考えてみる．

　　５^2＋１＝２６＝３^3−１

２６以外に平方数と立方数に挟まれる数はないのである．

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【１】カタラン予想

　ベルギーの数学者カタランは，カタラン数やカタランの立体（準正多面体の双対）でその名を知られています．１８４４年，カタランは方程式：

　　ｘ^p−ｙ^q＝１

の整数解が（ｘ，ｙ，ｐ，ｑ）＝（３，２，２，３）だけである，すなわち，８と９だけが唯一連続するベキ乗数であるということであると予想しました．　　３^2−２^3＝１

ですが，それに証明を与えることはできませんでした．

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【２】カタラン予想の攻略

　この問題には長い歴史があります．ビトリーは平方数と立方数で１違うものは（１，２）（２，３）（３，４）（８，９）しかないと指摘，ゲルションは３^m±１（ｍ＞２）は必ず奇数の素因数をもつため，２の累乗にはならないことを証明してビトリーの正当性を明らかにしました．

　ベルゲンは１３２０年頃，

　　３^p−２^q＝１

ならば（ｐ，ｑ）＝（２，３）であることを証明しました．

　１７３４年，オイラーは，

　　ｘ^2−ｙ^3＝１

ならば（ｘ，ｙ）＝（３，２）であることを示しました．しかし，カタラン予想は４以上の累乗も認められているので，こうした結果だけでは証明できません．

　ｐ＝２，ｑ＝３（オイラー，１７３８年），ｑ＝２（ルベーグ，１８５０年），ｐ＝３，ｑ＝３（ナゲル，１９２１年），ｐ＝４（セルバーグ，１９３２年），ｐ＝２（チャオ・コウ，１９６７年）などの研究があり，たとえば，ｘ^p−ｙ^2＝１は正の整数解をもたないというのがルベーグの定理です．

　１９７６年，テイデマンはベーカーの先駆的仕事をもとにして，カタランの方程式にはたとえ解があるにしても有限個の解しかなく，その場合（ｐ，ｑ）は１０^110より小さくなければならないことを証明しました．１９９９年，ミニョットは上限を１０^16，下限を１０^7の範囲まで大きく減らしました．

　しかし，これも大きすぎてコンピュータではチェックできす，証明は望み薄でした．

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