■ランベルト関数とケプラー関数(その6)

 ケプラーの方程式は

  exp(x)(x-1)=exp(-x)(x+1)

  exp(2x)=(x+1)/(x-1)=1+2/(x-1)

  exp(-2x)=(x-1)/(x+1)=1-2/(x-1)

に帰着される。

 両辺の対数をとって

2x=log(x+1)/(x-1)

log(x+1)=x-x^2/2+x^3/3+x^4/4-・・・

log(x+1)/(x-1)=2{1/x+1/3x^3+1/5x^5+1/7x^7+・・・} (x^2>1)

から初期値を概算することもできる。

  →x=1.1996678640257734・・・

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よく知られた結果

  1−1/2+1/3−1/4+・・・=log2

  log(1+x)=x−x^2/2+x^3/3−x^4/4+・・・

から得られる.

 xを−xで置き換えた級数

  log(1−x)=−x−x^2/2−x^3/3−x^4/4−・・・

を組み合わせると

  log(1+x)/(1−x)=2(x+x^3/3+x^5/5+x^7/7+・・・)が得られる.

 |x|<1でしか有効ではないが,このとき,(1+x)/(1+x)はすべての正価を取ることができる.

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2x=2{1/x+1/3x^3+1/5x^5+1/7x^7+・・・} (x^2>1)

x={1/x+1/3x^3+1/5x^5+1/7x^7+・・・} (x^2>1)

x^2=1+1/3x^2+1/5x^4+1/7x^6+・・・

x^2=1+1/3x^2,x^2=y

y^2=y+1/3

y=(1+(7/3)^1/2)/2

y=1.26376

x=1.12417を初期値にすればよい

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