中心の周りに三角格子状に並べることにすると

1重目に１個、

2重目に６個、計７個（素数）

3重目に12個、計19個（素数）

4重目に18個、計37個（素数）

5重目に24個、計61個（素数）

6重目に30個、計91個（7・13非素数）

7重目に36個、計127個（素数）

8重目に42個、計169個（13・13非素数）

が並びます。

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三角格子では長さの２乗が0のベクトルは1個

1のベクトルは6個

3のベクトルは6個

4のベクトルは6個

7のベクトルは12個と数えていけば、この格子のテータ関数は

θ3(z)θ3(3z)+θ2(z)θ2(3z)=1+6q+6q^3+6q^4+12q^7+・・・

であることがわかる.

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中心の周りに正六角形状に並べることにすると

1重目に１個、

2重目に６個、計７個（素数）

3重目に12個、計19個（素数）

4重目に18個、計37個（素数）

5重目に24個、計61個（素数）

6重目に30個、計91個（7・13非素数）

7重目に36個、計127個（素数）

8重目に42個、計169個（13・13非素数）

が並びます。

ｍ重目に6(m-1)個、計1+3m(m-1)個

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中心の周りに星形六角形状に並べることにすると

ｍ重目に新たに3m(m-1)個、計1+6m(m-1) 個

1重目に１個、

2重目に計13個

3重目に計37個

4重目に計73個

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6m(m-1)＝3n(n-1)

2m(m-1)＝n(n-1)を満たす(m,n)を求めてみたい。

すなわち、正六角数かつ星形六角数であるもの

左辺は4の倍数であるからｎは4の倍数かそれに+/-1したもの→しかし、これでは絞り込みは不十分

1+6m(m-1)＝1+3n(n-1)=37→ｍ＝3、ｎ＝4

1+6m(m-1)＝1+3n(n-1)=1261→ｍ＝3、ｎ＝4

1260＝6m(m-1)→210=m(m-1)→ｍ＝15

1260＝3m(m-1)→420=m(m-1)→ｎ＝21

K(k-1)=2,6,12,20,30,42,56,72,90,110,156,182,210

2k(k-1)=4,12,24,40,60,84,112,144,180,210,312,364,420

として一致する数を探すしかないのだろうか？

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2m(m-1)＝n(n-1)

2m^2-2m＝n^2-n

8m^2-8m＝4n^2-4n

2(4m^2-4m)=(4n^2-4n)

2{(2m-1)^2-1}=(2n-1)^2-1

(2n-1)^2-2(2m-1)^2=-1

ここで，２ｎ-１＝ｐ，２ｍ-1＝ｑとおくと

　　ｐ^2−２ｑ^2＝-１　　（ペル方程式）

に帰着されます．

　　（ｐ，ｑ）＝（1，1），（７，５），（４１，２９），（２３９，１６９），（１３９３，９８５），・・・

　→（ｎ，ｍ）＝（１，１），（４，３），（２１，１５），（１２０，８５），（６９７，４９８），・・・

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