■多角数とペル方程式(その36)

  8x^2+1=y^2

  x^2=1/32{(17+12√2)^n+(17−12√2)^n−2}

  y^2=1/4{(17+12√2)^n+(17−12√2)^n−2}+1

=1/4{(17+12√2)^n+(17−12√2)^n+2}

  α=17+12√2=(1+√2)^4=(3+2√2)^2は2次方程式:x^2−34x+1=0の根であるから,

  y^2=1/4{(17+12√2)^n+(17−12√2)^n+2}

=1/4{(3+2√2)^2n+(3−2√2)^2n+2}

y=1/2{{(3+2√2)^n+(3−2√2)^n}

===================================

 一方,

  y^2−8x^2=y^2−2(2x)^2=1=p^2−2q^2

  α=3+2√2,β=3−2√2

  xn =1/2(α^n+β^n)

  yn =1/2√2(α^n−β^n)

  p=1/2(α^n+β^n)

===================================

[まとめ]1/32{(17+12√2)^n+(17−12√2)^n−2}

に食い違いは解消されたことになる.

===================================