■多角数とペル方程式(その25)

 連続した2数の積n(n+1)は平方数にならないが,それを2で割ったn(n+1)は平方数となることがある.たとえば,n=8では

  8・9/2=36=6^2

 このことをシンボリックに△=□と書くことにする.これが成り立つのはn=8のときだけだろうか?

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[Q1] △=□?,すなわち,三角数n(n+1)/2が完全平方数m^2となるnの値を求めよ.

(A)n^2+n=2m^2

  4n^2+4n+1=8m^2+1

  (2n+1)^2=2(2m)^2+1

 ここで,2n+1=p,2m=qとおくと

  p^2−2q^2=1  (ペル方程式)

に帰着されます.

  (p,q)=(3,2),(17,12),(99,70),(577,408),(3363,2378),・・・

 →(n,m)=(1,1),(8,6),(49,35),(288,204),(1681,1189),・・・nは完全平方と完全平方の2倍を交互に繰り返します.

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