■多角数とペル方程式(その16)

[1]三角数:n(n+1)/2

[2]四角数:n^2=n(2n−0)/2

[3]五角数:n(3n−1)/2

[4]六角数:n(4n−2)/2

[5]七角数:n(5n−3)/2

[6]八角数:n(6n−4)/2

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[5]七角数:n(5n−3)/2=四角数ならば

5n^2-3n=2N^2

25a^2n^2-15a^2n+b^2=(5an-b)^2

15a^2=10ab

b=3,a=2とすればペル方程式に帰着される

100n^2-60n+9=40N^2+9

(10n-3)^2-10(2N)^2=9

ここで,10n-3=p,2m=qとおくと

  p^2−10q^2=9  (ペル方程式)

に帰着されます.

  (p,q)=(7,2) →(n,m)=(1,1),

  (p,q)=(13,4) →(n,m)=NG

  (p,q)=(17,y),(23,y),(27,y)・・・としてみたが、自明な解以外は解が見つからない

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x1=19,y1=6

x2=2x1^2-1=721,y2=y1(2x1)=216

x3=4x1^3-3x1=27379,y3=y1(4x1^2-1)=8658

x4=8x1^4-8x1^2+1=1039681,y4=y1(8x1^3-4x1)=328776

x5=16x1^5-20x1^3+5x1=39480499,y5=y1(16x1^4-12x1^2+1)=12484830

x6=32x1^6-48x1^4+18x1^2-1=1499219281,y5=y1(32x^5-32x1^3+6x1)=474094764

x^2-10y^2=1の(x,y)を3倍すればx^2-10y^2=9の解になる・・・(7,2)などは含まれていない

(57,18)→(6,9)

(2163,648)

(82137,25974)→(8214,12987)

(3119043,986328)

(118441497,37454490)→(11844150,18727245)

(4497657843,1422284292)

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