■4乗数の三角数分割

 任意の4乗数は2つの三角数の和で表されることを証明したいのであるが,任意の平方数は2つの連続した三角数の和で表される.

  Tn+Tn-1=n^2

  (Tn+Tn-1)^2=n^4

 また,

  (Tn)^2=Tn+Tn-1Tn+1

  2TnTn-1=Tn^2-1

より,

  (Tn+Tn-1)^2=(Tn)^2+(Tn-1)^2+Tn^2-1=n^4

=Tn+Tn-1Tn+1+Tn-1+Tn-2Tn+Tn^2-1

=Tn(1+Tn-2)+Tn-1(Tn+1+1)+Tn^2-1

  Tn-2+1=(n−2)(n−1)/2+1=(n^2−3n+4)/2

  Tn+1+1=(n+1)(n+2)/2+1=(n^2+3n+4)/2

  Tn^2-1=(n^2−1)n^2/2

  Tn(1+Tn-2)=n(n+1)(n^2−3n+4)/4

=n(n^3−2n^2+n+4)/4

  Tn-1(Tn+1+1)=n(n−1)(n^2+3n+4)/4

=n(n^3+2n^2+n−4)/4

  Tn(1+Tn-2)+Tn-1(Tn+1+1)=n^2(n^2+1)/2

 これは三角数

  Tn^2=(n^2+1)n^2/2

であるから,

  n^4=Tn^2-1+Tn^2

となった.

  7^4=T48+T49=2401

任意の4乗数は2つの三角数の和で表されることが証明された.

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[まとめ]

  n^4=n^2(n^2−1)/2+n^2(n^2+1)/2

  □^2=△+△

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