■Φ(x)=Π(1-x^k)とm角数定理(その8)

【1】ラマヌジャンの分割数等式

5{Φ(x^5)}^5/{Φ(x)}^6=Σp(5n+4)x^n

=p(4)+p(9)x+p(14)x^2+p(19)x^3+・・・

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【2】オイラーの分割数

 ラマヌジャンはp(n)が満たす合同式について

  p(5n+4)=0  mod5

  p(7n+5)=0  mod7

  p(11n+6)=0  mod11

  p(599)=0  mod5^3

  p(721)=0  mod11^2

を予想し,それらを証明しています.

 さらに,

  d=5^a7^b11^c かつ 24n=1  (mod d)

ならば,

  p(n)=0  (mod d)

を予想していますが,n=243の場合,

  p(243)=133978259344888

は,24・243=1  (mod 343)であるにもかかわらず,d=7^3=343では割り切れない.(この予想は誤りであった.)

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【3】ラマヌジャンの分割数

x{Φ(x)}^24=Στ(n)x^n

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