【１】ラマヌジャンの分割数等式

5{Φ(x^5)}^5/{Φ(x)}^6=Σp(5n+4)x^n

=p(4)+p(9)x+p(14)x^2+p(19)x^3+・・・

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【２】オイラーの分割数

　ラマヌジャンはp(n)が満たす合同式について

　　ｐ（５ｎ＋４）＝０　　ｍｏｄ５

　　ｐ（７ｎ＋５）＝０　　ｍｏｄ７

　　ｐ（１１ｎ＋６）＝０　　ｍｏｄ１１

　　ｐ（５９９）＝０　　ｍｏｄ５^3

　　ｐ（７２１）＝０　　ｍｏｄ１１^2

を予想し，それらを証明しています．

　さらに，

　　ｄ＝５^a７^b１１^c　かつ　２４ｎ＝１　　（ｍｏｄ　ｄ）

ならば，

　　ｐ（ｎ）＝０　　（ｍｏｄ　ｄ）

を予想していますが，ｎ＝２４３の場合，

　　ｐ（２４３）＝１３３９７８２５９３４４８８８

は，２４・２４３＝１　　（ｍｏｄ　３４３）であるにもかかわらず，ｄ＝７^3＝３４３では割り切れない．（この予想は誤りであった．）

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【３】ラマヌジャンの分割数

x{Φ(x)}^24=Στ(n)x^n

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