Σｋ＝ｎ（ｎ＋１）／２

Σｋ^2＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）／６

Σｋ^3＝ｎ^2（ｎ＋１）^2／４

より，

１^3＋２^3＋３^3＋・・・＋ｎ^3＝（１＋２＋３＋・・・＋ｎ）^2

が成り立つ．

　以下，左辺と右辺から，いくつかの同じ数字を間引いたり，つけ加えても等式が成り立つ例を掲げる．たとえば

１^3＋２^3＋２^3＋３^3＋４^3＋６^3＝（１＋２＋２＋３＋４＋６）^2

＝３２４

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　曲芸的にみえるかもしれないが，実は次の見事な等式が成り立つのである．

　　Στ^3（ｄ）＝（Στ（ｄ））^2

　　τ（ｄ）はｄの約数の個数を表すものとする．

ｄ，ｄの約数，τ（ｄ）

１，（１｝，１

３，｛１，３｝，２

５，｛１，５｝，２

９，｛１，３，９｝，３

１５，｛１，３，５，１５｝，４

４５，｛１，３，５，９，１５，４５｝，６

であるから，ｄ＝４５の約数の場合，

左辺＝τ^3（１）＋τ^3（３）＋τ^3（５）＋τ^3（９）＋τ^3（１５）＋τ^3（４５）

＝１^3＋２^3＋２^3＋３^3＋４^3＋６^3＝３２４

右辺＝｛τ（１）＋τ（３）＋τ（５）＋τ（９）＋τ（１５）＋τ（４５）｝^2

＝（１＋２＋２＋３＋４＋６）^2＝３２４

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　ｄ＝２^nの場合，

　　Στ^3（ｄ）＝（Στ（ｄ））^2

は

１^3＋２^3＋３^3＋・・・＋ｎ^3＝（１＋２＋３＋・・・＋ｎ）^2

になるので，ある意味，一般化になっているのである．

　［参］チャンバーランド「ひとけたの数に魅せられて」岩波書店

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