■２乗和の整除性（その１５）
整数を２つの集合に分け，それぞれのベキ乗の和が等しくなる等式を探す問題はプルーヘ・タリー・エスコット問題と呼ばれる．以下，その例を掲げる．
１＋４＋６＋７＋１０＋１１＋１３＋１６＝２＋３＋５＋８＋９＋１２＋１４＋１５＝６８
１^2＋４^2＋６^2＋７^2＋１０^2＋１１^2＋１３^2＋１６^2＝２^2＋３^2＋５^2＋８^2＋９^2＋１２^2＋１４^2＋１５^2＝７４８
１^3＋４^3＋６^3＋７^3＋１０^3＋１１^3＋１３^3＋１６^3＝２^3＋３^3＋５^3＋８^3＋９^3＋１２^3＋１４^3＋１５^3＝９２４８
ここでは問題を簡単にするため，１から2の累乗までのすべての数字を含む排他的数列を取り上げます．
この問題は２進法に基づくスー・モース数列を使うと解くことができます。平等に配分することができる数列というわけです。
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【１】１から2の累乗までのすべての数字を含む排他的数列
たとえば，１から８までのすべての数字を含む排他的数列では，２乗和まで等しい．
｛ａn｝＝｛１，４，５，８｝
｛ｂn｝＝｛２，３，６，７｝
２＋３＋５＋８＝１＋４＋６＋７＝１８
２^2＋３^2＋５^2＋８^2＝１^2＋４^2＋６^2＋７^2＝１０２
たとえば、１から１６までのすべての数字を含む排他的数列では，３乗和まで等しい．
｛ａn｝＝｛１，４，６，７，１０，１１，１３，１６｝
｛ｂn｝＝｛２，３，５，８，９，１２，１４，１５｝
１＋４＋６＋７＋１０＋１１＋１３＋１６＝２＋３＋５＋８＋９＋１２＋１４＋１５＝６８
１^2＋４^2＋６^2＋７^2＋１０^2＋１１^2＋１３^2＋１６^2＝２^2＋３^2＋５^2＋８^2＋９^2＋１２^2＋１４^2＋１５^2＝７４８
１^3＋４^3＋６^3＋７^3＋１０^3＋１１^3＋１３^3＋１６^3＝２^3＋３^3＋５^3＋８^3＋９^3＋１２^3＋１４^3＋１５^3＝９２４８
これから予想されることは，
［１］１から４までのすべての数字を含む排他的数列では，和が等しい．
［２］１から８までのすべての数字を含む排他的数列では，２乗和まで等しい．
［３］１から１６までのすべての数字を含む排他的数列では，３乗和まで等しい．
［４］１から３２までのすべての数字を含む排他的数列では，４乗和まで等しい．
［５］１から６４までのすべての数字を含む排他的数列では，５乗和まで等しい．
［６］ｋ乗和まで等しい２つの数列はそれぞれ同数の偶数，奇数を含む排他的な数列である．
ここで，整数を２つの集合に分け，それぞれのベキ乗の和が等しくなるようにする簡単なアルゴリズムが存在する．答えを先にいうと，スー・モース数列｛０１１０１００１１００１０１１０｝の｛１｝項だけ抽出すると
｛ｂn｝＝｛２，３，５，８，９，１２，１４，１５｝
が得られる．
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ｎ＝１６=2^4
１＋４＋６＋７＋１０＋１１＋１３＋１６＝２＋３＋５＋８＋９＋１２＋１４＋１５＝６８＝ｎ（ｎ+1）/4
１^2＋４^2＋６^2＋７^2＋１０^2＋１１^2＋１３^2＋１６^2＝２^2＋３^2＋５^2＋８^2＋９^2＋１２^2＋１４^2＋１５^2＝７４８＝ｎ（ｎ+1）（2ｎ+1）/12
１^3＋４^3＋６^3＋７^3＋１０^3＋１１^3＋１３^3＋１６^3＝２^3＋３^3＋５^3＋８^3＋９^3＋１２^3＋１４^3＋１５^3＝９２４８＝ｎ^2（ｎ+1）^2/8
ｎは4の倍数となる。
ｎ^2は16の倍数となる
（ｎ+1）（2ｎ+1）は
2^4+1=17=(2+1)(2^3-2^2+2-1)は成り立たないが
2^5+1=33=(2+1)(2^4-2^3+2^2-2+1)が成り立つので3の倍数となる
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Σｋ＝ｎ（ｎ＋１）／２
Σｋ^2＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）／６
Σｋ^3＝ｎ^2（ｎ＋１）^2／４
Σｋ^4＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）（３ｎ^2＋３ｎ−１）／３０
Σｋ^5＝ｎ^2（ｎ＋１）^2（２ｎ^2＋２ｎ−１）／１２
Σｋ^6＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）（３ｎ^4＋６ｎ^3−３ｎ＋１）／４２
Σｋ^7＝ｎ^2（ｎ＋１）^2（３ｎ^4＋６ｎ^3−ｎ^2−４ｎ＋２）／２４
左辺右辺に分けるとこれらの1/2になるが、
n=2^mならば
（ｎ＋１）（２ｎ＋１）が5の倍数や7の倍数になる必要がありそうである。
5の倍数は何とかなりそう
(2^m+1)=(4+1)(2^m-3-2^m-5+・・・+1）
(2^m+1+1)=(4+1)((2^m-2-2^m-4+・・・+1）
7の倍数は？
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