連続するｎ個の整数の交代和を調べてみると，

　　３！−２！＋１！＝５　　（素数）

　　４！−３！＋２！−１！＝１９　　（素数）

　　５！−４！＋３！−２！＋１！＝１０１　　（素数）

　　６！−５！＋４！−３！＋２！−１！＝６１９　　（素数）

　　７！−６！＋５！−４！＋３！−２！＋１！＝４４２１　　（素数）

　　８！−７！＋６！−５！＋４！−３！＋２！−１！＝３５８９９　　（素数）

はすべて素数です．このパターンはずっと続くのでしょうか？

　しかし，

　　９！−８！＋７！−６！＋５！−４！＋３！−２！＋１！＝３２６９８１＝７９×４１３９　　（非素数）

となって，破綻します．

　それでは，

　　１^2＝１　　（三角数）

　　２^2−１^2＝３　　（三角数）

　　３^2−２^2＋１^2＝６　　（三角数）

　　４^2−３^2＋２^2−１^2＝１０　　（三角数）

　　５^2−４^2＋３^2−２^2＋１^2＝１５　　（三角数）

　最初のいくつかの値は正しくとも，同じパターンが続くとは限らないこともあるが，このパターンはずっと続く．証明せよ．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

n=2m+1のとき

Σ(2m+1)^2-Σ(2m)^2=Σ(4m+1)+1=2m(m+1)+m+1=(2m+1)(m+1)=(2m+1)(2m+2)/2　　（三角数）

n=2mのとき

Σ(2m)^2-Σ(2m-1)^2=Σ(4m-1)=2m(m+1)=m(2m+1)=2m(2m+1)/2　　（三角数）

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝