排他的数列というとビーティー数列を思い出しますが，他にもおもしろい数列があります．

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【１】ビーティー数列

　レイリーの定理とは「α，βを１／α＋１／β＝１を満たす無理数，［］をガウス記号とするとき，２つの数列｛ａn｝＝｛［ｎα］｝，｛ｂn｝＝｛［ｎβ］｝は共通項がなく，併せるとすべての整数１，２，３，・・・を与える．」というものです．

　レイリーは数列の任意の連続する２項の間には必ずもう一つの数列の項が入り込むことを発見したのですが，この定理は１９６２年にビーティーにより再発見されたことにより，２つの数列はビーティー数列と名付けられています．

　数列｛ａn｝がビーティー数列ならば，ａnの値はａ1，ａ2，・・・，ａn-1の値から１以内の誤差で決定することができます．ａ1＋ａn-1，ａ2＋ａn-2，・・・，ａn-1＋ａ1の和はすべてｖまたはｖ＋１になるからです．また，この和がすべてｖならばａn＝ｖ＋１でなければなりません．もし，そうでなければビーティー数列ではないということになります．

　たとえば，ビーティー数列１，３，４，６，８，９，・・・において，ａ1＋ａ1＝２よりａ2は２または３（実際は３），ａ1＋ａ2＝４よりａ3は４または５３（実際は４），ａ1＋ａ3＝５，ａ2＋ａ2＝６よりａ4は６となります．

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【２】２乗和が等しい数列

　｛ａn｝＝｛１，４，６，７，１０，１１，１３，１６｝

　｛ｂn｝＝｛２，３，５，８，９，１２，１４，１５｝

は１から１６までのすべての数字を含む排他的数列ですが，驚くべき性質をもっています．

　１＋４＋６＋７＋１０＋１１＋１３＋１６＝２＋３＋５＋８＋９＋１２＋１４＋１５＝６８

はすぐ気づきますが，

　１^2＋４^2＋６^2＋７^2＋１０^2＋１１^2＋１３^2＋１６^2＝２^2＋３^2＋５^2＋８^2＋９^2＋１２^2＋１４^2＋１５^2＝７４８

　１^3＋４^3＋６^3＋７^3＋１０^3＋１１^3＋１３^3＋１６^3＝２^3＋３^3＋５^3＋８^3＋９^3＋１２^3＋１４^3＋１５^3＝９２４８

はなかなか気づきににくいでしょう．

　８対｛１，２｝，・・・，｛１５，１６｝で考えると一方が｛ａn｝に，他方が｛ｂn｝に入っています．また，｛ａn｝，｛ｂn｝にはそれぞれ４つの偶数，４つの奇数が属しています．

　２の累乗，たとえば，１から３２までのすべての数字を含む排他的数列では４乗和でも，１から６４までのすべての数字を含む排他的数列では５乗和でも等しくなるのだそうです．

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