{an}={1,3,4,6,8,9,11,・・・}

{bn}={2,5,7,10,13,15,18,・・・}

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【３】レイリーの定理（ヴィノグラードフの定理）

「α，βを１／α＋１／β＝１を満たす無理数，［］をガウス記号とするとき，２つの数列｛ａn｝＝｛［ｎα］｝，｛ｂn｝＝｛［ｎβ］｝は共通項がなく，併せるとすべての整数１，２，３，・・・を与える．」

α≦βとすると，仮定からαは区間（１，２）にあることがわかりますが，たとえば，

　　α＝（１＋√５）／２，β＝（３＋√５）／２＝α＋１＝α^2

のとき，

ａk＝［ｎα］＝１，３，４，６，８，９，１１，１２，１４，１６，１７，・・・

ｂk＝［ｎβ］＝２，５，７，１０，１３，１５，１８，・・・

このとき,２つの整数列A={[nα]},B={[nβ]}において，

[1]排他性： A∩B=｛｝

[2]相補性： A∪B={1,2,3,・・・}

すなわち、２つの数列には共通項がなく，併せるとすべての整数１，２，３，・・・を与えるというわけです．

α＝√２，β＝２＋√２のときは，

ａk＝［ｎα］＝１，２，４，５，７，８，９，１１，１２，１４，・・・

ｂk＝［ｎβ］＝３，６，１０，１３，・・・

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ラマヌジャンの素晴らしい発見を紹介したい。

それが黄金比をｇとして一般化した連分数、

exp(-2π/5)/(5^1/4g^1/2-g)=1+exp(-2π)/1+・・+exp(-4π)/1+・・+exp(-6π)/1+・・

exp(-2π/5)/(5^1/4g^-1/2-g^-1)=1+exp(-π)/1+・・+exp(-2π)/1+・・+exp(-3π)/1+・・ 　　１

5^1/4g^1/2={(5+√5)/2}^1/2

もうひとつ、フィボナッチ数・黄金比を含む無限級数・無限連分数を紹介したい。

無限級数=1/2^[g]+1/2^[2g]+1/2^[3g]+・・・

＝無限連分数＝1+1/2^0+・・+1/2^1+・・+1/2^1+・・+1/2^2+・・1/2^3+・・+1/2^5+・・+1/2^8+・・+1/2^13+・・1/2^21+・・

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