■レイリー・ヴィノグラードフの定理(その28)

  ak=[nτ]=1,3,4,6,8,9,11,・・・

  bk=[nτ^2]=2,5,7,12,13,15,18,・・・

  ck=[τ[nτ]]=1,4,6,9,12,14,17,・・・

  dk=[τ[nτ^2]]=3,8,11,16,21,24,29,・・・

  bk=[nτ^2]=2,5,7,12,13,15,18,・・・

とすると,

  ak=ck+dk

となって.bk,ck,dkの3系列は相補的数列であることが,スコレムによって証明されている.

  ak=[nτ]=1,3,4,6,8,9,11,・・・

  bk=[nτ^2]=2,5,7,12,13,15,18,・・・

は2群で排他的、2群併せて相補的であることは証明済み。

  ck=[τ[nτ]]=1,4,6,9,12,14,17,・・・

  dk=[τ[nτ^2]]=3,8,11,16,21,24,29,・・・

は2群で排他的、2群併せて相補的であることを証明したい。

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 数列{an}がビーティー数列ならば,anの値はa1,a2,・・・,an-1の値から1以内の誤差で決定することができます.a1+an-1,a2+an-2,・・・,an-1+a1の和はすべてvまたはv+1になるからです.また,この和がすべてvならばan=v+1でなければなりません.もし,そうでなければビーティー数列ではないということになります.

 たとえば,ビーティー数列1,3,4,6,8,9,・・・において,a1+a1=2よりa2は2または3(実際は3),a1+a2=4よりa3は4または53(実際は4),a1+a3=5,a2+a2=6よりa4は6となります.

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【補題】

f(n)=[nα]

g(n)=[nβ]

このとき

g(n)=f(f(n))+1は[nβ]=[α[nα]]+1が成り立つためには

α=τ、β=τ^2である。逆に、α=τ、β=τ^2ならば

[nβ]=[α[nα]]+1が成り立つ。

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