■レイリー・ヴィノグラードフの定理(その26)

(Q)Spec(α),Spec(β),Spec(γ)が整数を分割するような実数α,β,γは存在するでしょうか?

(A)不可能(存在しない).

 レイリーの定理は,

  1/α+1/β+1/γ=1

かつ

  {(n+1)/α}+{(n+1)/β}+{(n+1)/γ}=1

のとき,そのときに限り3分割が起こることを示している.

 しかし,ワイルの一様分布定理から,δが無理数のとき,{(n+1)/δ}の平均値は1/2である→矛盾.δが有理数(m/n)ならば,平均値は3/2−1/(2n)→矛盾.δが整数の場合もうまくいかない.すなわち,存在しないことを示している.

 相補的数列となるのは,

[1]2系列

[2]1/α1+1/α2=1

[3]α1は無理数

の場合に限られるのである.

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 しかしながら,次の3系列は相補的数列であることが,スコレムによって証明されている.

  ak=[τ[nτ]]=1,4,6,9,12,14,17,・・・

  bk=[τ[nτ^2]]=3,8,11,16,21,24,29,・・・

  ck=[nτ^2]=2,5,7,12,13,15,18,・・・

 スコレムは2次元でこれに相当するものも導出している.

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