レイリーの定理（ヴィノグラードフの定理）とは「α，βを１／α＋１／β＝１を満たす無理数，［］をガウス記号とするとき，２つの数列｛ａn｝＝｛［ｎα］｝，｛ｂn｝＝｛［ｎβ］｝は共通項がなく，併せるとすべての整数１，２，３，・・・を与える．」というものです．

　フィボナッチ数列では，Ｆn-1／Ｆnは近似的に１／τに，Ｆn-2／Ｆnは１／τ^2に近づいていきます．そこで，ビーティ数列

　　ａk＝［ｎτ］＝１，３，４，６，８，９，１１，・・・

　　ｂk＝［ｎτ^2］＝２，５，７，１２，１３，１５，１８，・・・

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【２】α＝τ

α≦βとすると，仮定からαは区間（１，２）にあることがわかりますが，たとえば，

　　α＝（１＋√５）／２，β＝（３＋√５）／２＝α＋１＝α^2

とき，ａn，ｂnの値は

ｎ　　１　　２　　３　　４　　５　　６　　７　　８　　９　　10

ａn 1　 3 4 6 8 9 11 12 14 16

ｂn 2 5 7 10 13 15 18 20 23 26

ｎ　　11　　12　　13　　14　　15　　16　　17　　18　　19　　20

ａn 17　 19 21 22 24 25 27 29 30 32

ｂn 28 31 34 36 39 41 44 47 49 52

ｎ　　21　　22　　23　　24　　25　　26　　27　　28　　29　　30

ａn 33　 35 37 38 40 42 43 45 46 48

ｂn 54 57 60 62 65 68 70 73 75 78

ｎ　　31　　32　　33　　34　　35　　36　　37　　38　　39　　40

ａn 50　 51 53 55 56 58 59 61 63 64

ｂn 81 83 86 89 91 94 96 99 102 104

ｎ　　41　　42　　43　　44　　45　　46　　47　　48　　49　　50

ａn 66　 67 69 71 72 74 76 77 79 80

ｂn 107 109 112 115 117 120 123 125 128 130

　これを

ｎ　　１　　２　　３　　４　　５　　６　　７　　８　　９　　10

ａn 1　 3 4 6 8 9 11 12 14 16

ｂn 2 5 7 10 13 15

ｎ　　11　　12　　13　　14　　15　　16　　17　　18　　19　　20

ａn 17　 19 21 22 24 25 27 29 30 32

ｂn 18 20 23 26 28 31

ｎ　　21　　22　　23　　24　　25　　26　　27　　28　　29　　30

ａn 33　 35 37 38 40 42 43 45 46 48

ｂn 34 36 39 41 44 47 49

ｎ　　31　　32　　33　　34　　35　　36　　37　　38　　39　　40

ａn 50　 51 53 55 56 58 59 61 63 64

ｂn 52 54 57 60 62 65

ｎ　　41　　42　　43　　44　　45　　46　　47　　48　　49　　50

ａn 66　 67 69 71 72 74 76 77 79 80

ｂn 68 70 73 75 78

と並べ直すと，２つの数列は共通項がなく，併せるとすべての整数１，２，３，・・・を与えるという意味がおわかり頂けると思います．

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【３】α＝√２

ｎ　　１　　２　　３　　４　　５　　６　　７　　８　　９　　10

ａn 1　 2 4 5 7 8 9 11 12 14

ｂn 3 6 10 13 17 20 23 27 30 34

ｎ　　11　　12　　13　　14　　15　　16　　17　　18　　19　　20

ａn 15　 16 18 19 21 22 24 25 26 28

ｂn 37 40 44 47 51 54 58 61 64 68

ｎ　　21　　22　　23　　24　　25　　26　　27　　28　　29　　30

ａn 29　 31 32 33 35 36 38 39 41 42

ｂn 71 75 78 81 85 88 92 95 99 102

ｎ　　31　　32　　33　　34　　35　　36　　37　　38　　39　　40

ａn 43　 45 46 48 49 50 52 53 55 56

ｂn 105 109 112 116 119 122 126 1299 133 136

ｎ　　41　　42　　43　　44　　45　　46　　47　　48　　49　　50

ａn 57　 59 60 62 63 65 66 67 69 70

ｂn 139 143 146 150 153 157 160 163 167 170

　これを

ｎ　　１　　２　　３　　４　　５　　６　　７　　８　　９　　10

ａn 1　 2 4 5 7 8 9 11 12 14

ｂn 3 6 10 13

ｎ　　11　　12　　13　　14　　15　　16　　17　　18　　19　　20

ａn 15　 16 18 19 21 22 24 25 26 28

ｂn 17 20 23 27

ｎ　　21　　22　　23　　24　　25　　26　　27　　28　　29　　30

ａn 29　 31 32 33 35 36 38 39 41 42

ｂn 30 34 37 40

ｎ　　31　　32　　33　　34　　35　　36　　37　　38　　39　　40

ａn 43　 45 46 48 49 50 52 53 55 56

ｂn 44 47 51 54

ｎ　　41　　42　　43　　44　　45　　46　　47　　48　　49　　50

ａn 57　 59 60 62 63 65 66 67 69 70

ｂn 58 61 64 68

と並べ直すと，２つの数列は共通項がなく，併せるとすべての整数１，２，３，・・・を与えるという意味がおわかり頂けると思います．

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