■レイリー・ヴィノグラードフの定理(その5)

 レイリーの定理(ヴィノグラードフの定理)とは「α,βを1/α+1/β=1を満たす無理数,[]をガウス記号とするとき,2つの数列{an}={[nα]},{bn}={[nβ]}は共通項がなく,併せるとすべての整数1,2,3,・・・を与える.」というものです.

 フィボナッチ数列では,Fn-1/Fnは近似的に1/τに,Fn-2/Fnは1/τ^2に近づいていきます.そこで,ビーティ数列

  ak=[nτ]=1,3,4,6,8,9,11,・・・

  bk=[nτ^2]=2,5,7,12,13,15,18,・・・

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【2】α=τ

α≦βとすると,仮定からαは区間(1,2)にあることがわかりますが,たとえば,

  α=(1+√5)/2,β=(3+√5)/2=α+1=α^2

とき,an,bnの値は

n  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10

an 1  3 4 6 8 9 11 12 14 16

bn 2 5 7 10 13 15 18 20 23 26

n  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20

an 17  19 21 22 24 25 27 29 30 32

bn 28 31 34 36 39 41 44 47 49 52

n  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30

an 33  35 37 38 40 42 43 45 46 48

bn 54 57 60 62 65 68 70 73 75 78

n  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40

an 50  51 53 55 56 58 59 61 63 64

bn 81 83 86 89 91 94 96 99 102 104

n  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50

an 66  67 69 71 72 74 76 77 79 80

bn 107 109 112 115 117 120 123 125 128 130

 これを

n  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10

an 1  3 4 6 8 9 11 12 14 16

bn 2 5 7 10 13 15

n  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20

an 17  19 21 22 24 25 27 29 30 32

bn 18 20 23 26 28 31

n  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30

an 33  35 37 38 40 42 43 45 46 48

bn 34 36 39 41 44 47 49

n  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40

an 50  51 53 55 56 58 59 61 63 64

bn 52 54 57 60 62 65

n  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50

an 66  67 69 71 72 74 76 77 79 80

bn 68 70 73 75 78

と並べ直すと,2つの数列は共通項がなく,併せるとすべての整数1,2,3,・・・を与えるという意味がおわかり頂けると思います.

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【3】α=√2

n  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10

an 1  2 4 5 7 8 9 11 12 14

bn 3 6 10 13 17 20 23 27 30 34

n  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20

an 15  16 18 19 21 22 24 25 26 28

bn 37 40 44 47 51 54 58 61 64 68

n  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30

an 29  31 32 33 35 36 38 39 41 42

bn 71 75 78 81 85 88 92 95 99 102

n  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40

an 43  45 46 48 49 50 52 53 55 56

bn 105 109 112 116 119 122 126 1299 133 136

n  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50

an 57  59 60 62 63 65 66 67 69 70

bn 139 143 146 150 153 157 160 163 167 170

 これを

n  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10

an 1  2 4 5 7 8 9 11 12 14

bn 3 6 10 13

n  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20

an 15  16 18 19 21 22 24 25 26 28

bn 17 20 23 27

n  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30

an 29  31 32 33 35 36 38 39 41 42

bn 30 34 37 40

n  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40

an 43  45 46 48 49 50 52 53 55 56

bn 44 47 51 54

n  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50

an 57  59 60 62 63 65 66 67 69 70

bn 58 61 64 68

と並べ直すと,2つの数列は共通項がなく,併せるとすべての整数1,2,3,・・・を与えるという意味がおわかり頂けると思います.

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