レイリーの定理（ヴィノグラードフの定理）とは「α，βを１／α＋１／β＝１を満たす無理数，［］をガウス記号とするとき，２つの数列｛ａn｝＝｛［ｎα］｝，｛ｂn｝＝｛［ｎβ］｝は共通項がなく，併せるとすべての整数１，２，３，・・・を与える．」というものです．

　フィボナッチ数列では，Ｆn-1／Ｆnは近似的に１／τに，Ｆn-2／Ｆnは１／τ^2に近づいていきます．そこで，ビーティ数列

　　ａk＝［ｎτ］＝１，３，４，６，８，９，１１，・・・

　　ｂk＝［ｎτ^2］＝２，５，７，１２，１３，１５，１８，・・・

これらはどんな整数に対しても重複も除外もされないのですが，まずはその証明から．

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【１】証明

　　ｗ＜１，ａm＝［ｍ／ｗ］，ｂm＝［ｍ／（１−ｗ）］

とする．整数ｋを数列ａmの１項とすると

　　ｍ／ｗ−１＜ｋ＝［ｍ／ｗ］＜ｍ／ｗ

　　ｍ−ｗ＜ｋｗ＜ｍ

一方，整数ｋを数列ｂmの１項とすると

　　ｍ＜ｋｗ＜ｍ＋１−ｗ

となるｍが存在する．

　これらは完全に相補的である．すなわち，与えられた整数ｋはａmかｂmのいずれかの項である．

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